Epsilon kroncker

artikel ini tidak memiliki pranala ke artikel lain. Tidak ada alasan yang diberikan. Bantu kami untuk mengembangkannya dengan memberikan pranala ke artikel lain secukupnya. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala. Tag ini diberikan pada Oktober 2022.

artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat dilakukan dengan wikifikasi atau membagi artikel ke paragraf-paragraf. Jika sudah dirapikan, silakan hapus templat ini. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Epsilon Kronecker yang memiliki simbol ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ merupakan sebuah bentuk yang sering kali digunakan untuk mempermudah penulisan dari hasil perkalian silang vektor (cross product). Pada perkalian silang vektor akan menghasilkan,

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{A}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{A}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)\times \left({{B}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{B}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{B}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)}$

sedangkan secara sederhana sebuah vektor dapat dituliskan sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum \limits _{i=1}^{3}{{{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}}$

dengan,

${\displaystyle {{A}_{1}}={{A}_{x}};\ {{A}_{2}}={{A}_{y}};\ {{A}_{3}}={{A}_{z}}}$

dan vektor-vektor satuannya adalah,

${\displaystyle {{\mathbf {\hat {n}} }_{1}}=\mathbf {\hat {x}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{2}}=\mathbf {\hat {y}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{3}}=\mathbf {\hat {z}} }$

Berdasarkan aturan penjumlahan Einstein penjumlahan (sumasi) tersebut dapat ditulis sederhana sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} ={{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}$

Sehingga kita dapat menghubungkan perkalian silang dengan epsilon Kronecker sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\right)\times \left({{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}\right)={{A}_{i}}{{B}_{j}}\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\times {{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}={{\varepsilon }_{ijk}}{{A}_{i}}{{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{k}}}$

di mana nilai dari ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ didefinisikan sebagai,

${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}=\left\{{\begin{aligned}&+1,\ {\text{jika permutasi genap}}\\&{\text{-1}}{\text{,}}\ {\text{jika permutasi ganjil}}\\&{\text{0}}{\text{,}}\ {\text{jika selainnya}}\\\end{aligned}}\right.}$

Definisi tersebut juga menunjukkan bahwa ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ hanya akan memiliki nilai jika tiap indeksi memiliki nilai yang berbeda.Sehingga ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ yang tak lenyap dalam perkalian silang, serta nilai dari ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ adalah,

${\displaystyle {{\varepsilon }_{123}}={{\varepsilon }_{231}}={{\varepsilon }_{312}}=-{{\varepsilon }_{132}}=-{{\varepsilon }_{213}}=-{{\varepsilon }_{321}}=1}$