Frustum

Kumpulan frustum ${\displaystyle n}$-gonal siku-siku berbentuk limas
Contoh: Frustum pentagonal dan persegi siku-siku (n = 5 dan n = 4)
Muka	${\displaystyle n}$ trapesium sama kaki, 2 poligon beraturan
Rusuk	${\displaystyle 3n}$
titik sudut	${\displaystyle 2n}$
Polihedron dual	bipiramida segi-${\displaystyle n}$ siku-siku asimetrik cembung
Sifat-sifat	cembung

Dalam geometri, frustum, atau setengah limas adalah suatu bagian dari bangun ruang seperti kerucut atau limas, yang terletak di antara dua bidang sejajar yang memotongnya. Dalam kasus limas, muka alas berupa poligon, dan muka sisi berupa trapesium. Frustum siku-siku adalah limas siku-siku atau kerucut siku-siku terpenggal, yang tegak lurus dengan garis sumbunya.^[1] Bangun terpenggal tersebut yang tidak tegak lurus dengan garis sumbunya disebut frustum bukan siku-siku.

Rumus volume frustum persegi berbentuk limas diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno, yang dikenal sebagai Moskow Matematika Papirus, yang ditulis pada dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):$${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$$dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ masing-masing menyatakan panjang alas dan panjang sisi di atas, serta ${\displaystyle h}$ menyatakan tinggi. Orang Mesir mengetahui rumus yang tepat untuk volume limas persegi penggal, tetapi belum ada bukti dari persamaan tersebut dalam papirus Moskow.

Volume frustum kerucut atau limas merupakan volume bangun ruang sebelum mengiris bagian puncaknya, yang kemudian dikurangi volume bagian puncak:$${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$$dengan ${\displaystyle B_{1}}$ menyatakan luas alas, dan ${\displaystyle B_{2}}$ menyatakan luas sisi di bagian atas frustum; serta ${\displaystyle h_{1}}$ menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke alas, dan ${\displaystyle h_{2}}$ menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke sisi di bagian atas frustum. Dengan memisalkan bahwa$${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$$maka rumus volume dapat dinyatakan sebagai sepertiga hasil kali kesebandingan ${\displaystyle \alpha }$ dan selisih kubik dari ${\displaystyle h_{1}}$ dan ${\displaystyle h_{2}}$, yang ditulis sebagai$${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}).}$$Dengan menggunakan identitas ${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$, maka diperoleh $${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {(h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2})}{3}},}$$dengan ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ menyatakan tinggi frustum. Kemudian, dengan mendistribusikan ${\displaystyle \alpha }$ dan mensubstitusikan dari definisinya, rata-rata Heron dari luas ${\displaystyle B_{1}}$ dan ${\displaystyle B_{2}}$ akan memberikan rumus volume frustum lainnya, yaitu:$${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}).}$$

Heron dari Aleksandria adalah seorang matematikawan yang disematkan dengan penemuannya akan rumus volume frustum ini. Dengan menggunakan rumus tersebut, Heron menemukan satuan imajiner, akar kuadrat dari negatif satu.^[2]

Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar dirumuskan sebagai$${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}),}$$dengan ${\displaystyle \pi }$ adalah konstanta yang bernilai 3,14159265...; serta ${\displaystyle r_{1}}$ menyatakan jari-jari alas, dan ${\displaystyle r_{2}}$ menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum. Volume frustum limas yang alasnya merupakan poligon (segi-${\displaystyle n}$) beraturan dirumuskan sebagai$${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}},}$$dengan ${\displaystyle a_{1}}$ menyatakan panjang alas dan ${\displaystyle a_{2}}$ menyatakan panjang sisi di bagian atas frustum.

Untuk frustum kerucut melingkar siku-siku, dipunyai^[3]$${\displaystyle {\text{Luas permukaan samping}}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$$dan$${\displaystyle {\text{Luas permukaan total}}=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})s)=\pi \left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}\right),}$$dengan ${\displaystyle r_{1}}$ menyatakan jari-jari alas, dan ${\displaystyle r_{2}}$ menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum; serta ${\displaystyle s}$ menyatakan garis tinggi miring frustum. Luas permukaan frustum siku-siku yang alasnya merupakan poligon (segi-${\displaystyle n}$) beraturan dirumuskan sebagai$${\displaystyle L={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right],}$$dengan ${\displaystyle a_{1}}$ dan ${\displaystyle a_{2}}$ menyatakan sisi di dua alas frustum.

• Frustum bola