Identitas Jacobi

Dalam matematika, identitas Jacobi adalah sifat dari operasi biner yang menjelaskan bagaimana urutan evaluasi, penempatan tanda kurung dalam beberapa produk, mempengaruhi hasil operasi. Sebaliknya, untuk operasi dengan sifat asosiatif, urutan evaluasi memberikan hasil yang sama (tidak menggunakan tanda kurung dalam beberapa produk). Identitas ini dinamai matentikawan asal Jerman Carl Gustav Jakob Jacobi.

Produk silang ${\displaystyle a\times b}$ dan operasi braket Lie ${\displaystyle [a,b]}$ keduanya memenuhi identitas Jacobi. Dalam mekanika analitik, identitas Jacobi menggunakan tanda kurung Poisson. Dalam mekanika kuantum, digunakan oleh operasi komutator dengan ruang Hilbert dan ekuivalen dalam perumusan ruang fase mekanika kuantum oleh kurung siku Moyal.

Satu himpunan A dengan dua operasi biner + dan ×, dengan identitas aditif 0, memenuhi identitas Jacobi jika:

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ z\times (x\times y)\ +\ y\times (z\times x)\ =\ 0\quad \forall \ {x,y,z}\in A}$.

Sisi kiri adalah jumlah dari semua permutasi genap dari x × (y × z): tanda kurung dibiarkan tetap, dan huruf saling dipertukarkan beberapa kali.

Contoh informatif paling sederhana dari aljabar Lie digunakan gelanggang (asosiatif) ${\displaystyle n\times n}$ matriks sebagai gerakan sangat kecil dari ruang vektor berdimensi-n. Operasi × adalah komutator, yang mengukur kegagalan komutatif dalam perkalian matriks. Alih ${\displaystyle X\times Y}$ sebagai notasi kurung siku Lie digunakan:

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

Dalam notasi tersebut, identitas Jacobi adalah:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0.}$

Digunakan dengan komputasi.

Lebih umum, jika A adalah aljabar asosiatif dan ${\displaystyle V}$ adalah subruang dari A yang ditutup di bawah operasi kurung siku: ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ sebagai ${\displaystyle V}$ untuk semua ${\displaystyle X,Y\in V}$, identitas Jacobi tetap menggunakan V.^[1] Maka, jika operasi biner ${\displaystyle [X,Y]}$ memenuhi identitas Jacobi dikatakan bahwa seolah-olah diberikan oleh ${\displaystyle XY-YX}$ dalam beberapa aljabar asosiatif meskipun sebenarnya tidak didefinisikan seperti itu.

Menggunakan sifat antisimetri ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$, identitas Jacobi dapat ditulis ulang sebagai modifikasi dari sifat asosiatif:

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

Jika ${\displaystyle [X,Z]}$ adalah tindakan dari gerakan kecil X dengan Z, dapat dinyatakan sebagai:

Tindakan ${\displaystyle Y}$ diikuti oleh ${\displaystyle X}$ sebagai operasi ${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$, dikurangi tindakan ${\displaystyle X}$ diikuti oleh ${\displaystyle Y}$ sebagai operasi ${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$, sama dengan tindakan ${\displaystyle [X,Y]}$ sebagai operasi ${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$.

Terdapat jumlah identitas Jacobi bertingkat yang melibatkan antikomutator ${\displaystyle \{X,Y\}}$, contoh:

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

Lihat pula Kurung siku Lie bidang vektor dan rumus Baker–Campbell–Hausdorff

Contoh umum dari identitas Jacobi berasal dari perkalian kurung siku ${\displaystyle [x,y]}$ dengan aljabar Lie dan gelanggang Lie. Identitas Jacobi ditulis sebagai:

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0}$.

Karena perkalian kurung siku adalah antisimetris, identitas Jacobi sebagai dua reformulasi yang setara. Mendefinisikan operasi adjoin ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$ sebagai:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]}$.

Dengan demikian, identitas Jacobi untuk aljabar Lie menyatakan bahwa tindakan elemen pada aljabar adalah turunan. Bentuk identitas Jacobi digunakan untuk mendefinisikan pengertian aljabar Leibniz.

Penataan ulang lain menunjukkan bahwa identitas Jacobi setara dengan identitas berikut antara operator wakilan adjoin:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

Di sana, kurung siku di sisi kiri adalah operasi dari aljabar asli, tanda kurung di sebelah kanan adalah komutator dari komposisi operator, dan identitas menyatakan bahwa ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ peta untuk setiap elemen ke tindakan adjoin adalah aljabar Lie homomorfisme.

Identitas Hall–Witt adalah identitas analog untuk operasi komutator dalam grup.

Identitas berikut mengikuti dari antikomutativitas dan identitas Jacobi dan berlaku dalam aljabar Lie sembarang:^[2]

${\displaystyle [x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]]=0}$.

• Konstanta struktur
• Identitas Jacobi super
• Tiga subgrup lemma (identitas Hall–Witt)

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (Edisi 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666.

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Identitas Jacobi". MathWorld.