Nilai harapan

Bagian dari seri tentang statistika
Teori peluang
Peluang Aksioma Determinisme Sistem Indeterminisme Keacakan
Ruang peluang Ruang sampel Kejadian Collectively exhaustive events Kejadian sederhana Kejadian saling lepas Kemunculan Singleton Percobaan Percobaan Bernoulli Distribusi peluang Distribusi Bernoulli Distribusi binomial Distribusi eksponensial Distribusi normal Distribusi Pareto Distribusi Poisson Ukuran peluang Variabel acak Proses Bernoulli Kontinu atau diskrit Nilai harapan Varians Rantai Markov Langkah acak Proses stokastik
Kejadian komplemen Peluang bersama Peluang marginal Peluang bersyarat
Kebebasan Kebebasan bersyarat Hukum peluang total Hukum bilangan besar Teorema Bayes Pertidaksamaan Boole
Diagram Venn Diagram pohon
l b s

Dalam teori peluang, nilai harapan (juga disebut dengan ekspektasi, nilai ekspektasi, mean, rata-rata, purata, atau momen pertama) adalah perumuman dari purata berbobot. Secara informal, nilai harapan adalah purata aritmetika dari banyak hasil pada sebuah variabel acak yang dipilih secara independen.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan integral. Dalam landasan aksiomatik untuk peluang yang diberikan oleh teori ukuran, nilai harapan didefinisikan dengan integral Lebesgue.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak X umum dinyatakan sebagai ${\displaystyle \mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{atau }}\mathbb {E} X}$ dengan ${\displaystyle \mathbb {E} }$ terkadang juga ditulis dalam gaya huruf ${\displaystyle \mathrm {E} }$ atau ${\displaystyle E}$.^[1][2][3]

Penggunaan huruf E untuk menyatakan nilai harapan (expected value) dapat dilacak ke W. A. Whitworth pada tahun 1901.^[4] Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, E merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.^[5]

Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: E (tegak), E (miring), or ${\displaystyle \mathbb {E} }$ (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: ${\displaystyle \mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{dan }}\mathbb {E} X}$).

Notasi lain yang populer adalah μ_X, sedangkan ⟨X⟩, ⟨X⟩_av, dan ${\displaystyle {\overline {X}}}$ banyak dijumpai dalam fisika,^[6] dan M(X) dalam tulisan-tulisan berbahasa Rusia.

Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur oleh fungsi kepadatan peluang kontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam teori ukuran dan integral Lebesgue.

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuah vektor acak X. Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni E[X]_i = E[X_i]. Serupa dengan itu, nilai harapan dari matriks acak X dengan elemen-elemen X_ij didefinisikan sebagai E[X]_ij = E[X_ij].

Misalkan X adalah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil yang mungkin x₁, ..., x_k, masing-masing memiliki peluang p₁, ..., p_k untuk terjadi. Nilai harapan dari X didefinisikan sebagai^[7]

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$

Karena total semua peluang p₁ + ⋅⋅⋅ + p_k = 1, wajar untuk menganggap E[X] sebagai purata berbobot dari nilai-nilai x_i, dengan bobot-bobot berupa nilai peluang p_i. Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, p₁ = ⋅⋅⋅ = p_k), purata berbobot akan sama dengan rata-rata yang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

Secara informal, nilai harapan dari variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$

dengan x₁, x₂, ... adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak X dan p₁, p₂, ... masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus, teorema barisan Riemann dalam analisis matematika menunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut konvergen absolut, yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan.^[8] Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.^[8]

"Expected Value | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa American English). Diakses tanggal 2020-08-21.