Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Persamaan diferensial eksak atau persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam ilmu fisika dan teknik.
Dengan D =R 2 dan dua fungsi I dan J yang bersifat kontinu di D , maka persamaan diferensial biasa orde pertama berikut
I
(
x
,
y
)
d
x
+
J
(
x
,
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}
disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F yang dapat diturunkan secara terus menerus yang disebut fungsi potensial , sehingga
∂
F
∂
x
=
I
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}
dan
∂
F
∂
y
=
J
.
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}
Tata nama "persamaan diferensial eksak" mengacu kepada turunan eksak suatu fungsi. Untuk fungsi
F
(
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
−
1
,
x
n
)
{\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
d
F
d
x
0
=
∂
F
∂
x
0
+
∑
i
=
1
n
∂
F
∂
x
i
d
x
i
d
x
0
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}
Fungsi
F
:
R
2
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
F
(
x
,
y
)
=
1
2
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}
merupakan fungsi potensial untuk persamaan diferensial
x
d
x
+
y
d
y
=
0.
{\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,}
Jika terdapat persamaan diferensial eksak dengan definisi D =R 2 dengan fungsi potensial F , maka fungsi yang dapat diturunkan f dengan (x, f (x )) dalam D adalah penyelesaiannya jika dan hanya jika terdapat bilangan riil c sehingga
F
(
x
,
f
(
x
)
)
=
c
.
{\displaystyle F(x,f(x))=c.\,}
Untuk permasalahan nilai awal
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}
Fungsi potensial dapat dicari dengan Cara
F
(
x
,
y
)
=
∫
x
0
x
I
(
t
,
y
0
)
d
t
+
∫
y
0
y
J
(
x
,
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
I
(
t
,
y
0
)
d
t
+
∫
y
0
y
[
J
(
x
0
,
t
)
+
∫
x
0
x
∂
I
∂
t
(
u
,
t
)
d
u
]
d
t
.
{\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.}
yang menyelesaikan
F
(
x
,
y
)
=
c
{\displaystyle F(x,y)=c\,}
untuk y , di mana c adalah bilangan riil.
Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8 
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aecfd9421939b61608b52256f9aba47d94b565)
