Persamaan diferensial homogen

Persamaan diferensial homogen dapat memiliki dua artian.

Persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

dapat dianggap homogen jika fungsi M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan tingkat yang sama, n.^[1] Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter  ${\displaystyle \lambda }$, dapat diperoleh

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,}$     and     ${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

sehingga:

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Dalam hasil bagi   ${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$, jika diasumsikan   ${\displaystyle t=1/x}$   untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi ${\displaystyle f}$ dengan satu variabel ${\displaystyle y/x}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Kemudian dilakukan perubahan variabel ${\displaystyle y=ux}$; lalu diturunkan dengan aturan produk:

${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}$

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=f(u)-u\,;}$

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

${\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}$

dengan af ≠ be dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel (${\displaystyle \alpha }$ dan ${\displaystyle \beta }$ adalah konstanta):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}$

Persamaan diferensial linear dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:

${\displaystyle Ly=0\,}$

L adalah operator diferensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui.

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0}$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

${\displaystyle a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0}$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (Edisi 10th), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
• Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)