More Info
KPOP Image Download
  • Top University
  • Top Anime
  • Home Design
  • Top Legend



  1. ENSIKLOPEDIA
  2. Kalkulus matriks - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Kalkulus matriks - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Kalkulus matriks

  • العربية
  • Čeština
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Português
  • தமிழ்
  • 中文
Sunting pranala
  • Halaman
  • Pembicaraan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Perkakas
Tindakan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Umum
  • Pranala balik
  • Perubahan terkait
  • Pranala permanen
  • Informasi halaman
  • Kutip halaman ini
  • Lihat URL pendek
  • Unduh kode QR
Cetak/ekspor
  • Buat buku
  • Unduh versi PDF
  • Versi cetak
Dalam proyek lain
  • Butir di Wikidata
Tampilan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
[icon]
Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.
Kalkulus
  • Teorema dasar
  • Limit fungsi
  • Kontinuitas
  • Teorema nilai purata
  • Teorema Rolle
Diferensial
Definisi
  • Turunan (perumuman)
  • Tabel turunan
  • Diferensial
    • infinitesimal
    • fungsi
    • total
Konsep
  • Notasi untuk pendiferensialan
  • Turunan kedua
  • Turunan ketiga
  • Perubahan variabel
  • Pendiferensialan implisit
  • Laju yang berkaitan
  • Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
  • Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
  • Perkalian
  • Rantai
  • Pangkat
  • Pembagian
  • Rumus Faà di Bruno
Integral
Definisi
  • Antiderivatif
  • Integral (takwajar)
  • Integral Riemann
  • Integrasi Lebesgue
  • Integrasi kontur
  • Tabel integral
Integrasi secara
  • parsial
  • cakram
  • kulit tabung
  • substitusi (trigonometri)
  • pecahan parsial
  • Urutan
  • Rumus reduksi
Deret
  • geometri (aritmetika-geometrik)
  • harmonik
  • selang-seling
  • pangkat
  • binomial
  • Taylor
Uji kekonvergenan
  • uji suku
  • rasio
  • akar
  • integral
  • perbandingan langsung

  • perbandingan limit
  • deret selang-seling
  • kondensasi Cauchy
  • Dirichlet
  • Abel
Vektor
  • Gradien
  • Divergence
  • Keikalan
  • Laplace
  • berarah
  • identitas
Teorema
  • Kedivergenan
  • Gradien
  • Green
  • Stokes
Multivariabel
Formalisme
  • matriks
  • tensor
  • eksterior
  • geometrik
Definisi
  • Turunan parsial
  • Integral lipat
  • Integral garis
  • Permukaan integral
  • integral volume
  • Jacobi
  • Hesse
Khusus
  • fraksional
  • Malliavin
  • stokastik
  • variasi
  • l
  • b
  • s

Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.

Notasi

[sunting | sunting sumber]

Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan xT melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.

Kalkulus vektor

[sunting | sunting sumber]
Artikel utama: Kalkulus vektor

Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rn dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.

  • Vektor singgung terhadap kurva x: R → Rn adalah
    ∂ x ∂ t = [ ∂ x 1 ∂ t ⋮ ∂ x n ∂ t ] . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}\\\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.} {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}\\\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.}
  • Gradien fungsi skalar f: Rn → R
    ∂ f ∂ x = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ x n ] . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.}
    Turunan berarah f ke arah v adalah
    ∇ v f = ∂ f ∂ x v . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .} {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .}
  • Diferensial fungsi f: Rm → Rn dideskripsikan oleh matriks Jacobi
    ∂ f ∂ x = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x m ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ⋯ ∂ f n ∂ x m ] . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\\\end{bmatrix}}.} {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\\\end{bmatrix}}.}
    Diferensial sepanjang f dari vektor v dalam Rm adalah
    d f ( v ) = ∂ f ∂ x v . {\displaystyle d\,\mathbf {f} (\mathbf {v} )={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .} {\displaystyle d\,\mathbf {f} (\mathbf {v} )={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .}

Kalkulus matriks

[sunting | sunting sumber]

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

  • Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)
    ∂ F ∂ t = [ ∂ F 1 , 1 ∂ t ⋯ ∂ F 1 , m ∂ t ⋮ ⋱ ⋮ ∂ F n , 1 ∂ t ⋯ ∂ F n , m ∂ t ] . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1,m}}{\partial t}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n,m}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.} {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1,m}}{\partial t}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n,m}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.}
  • Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R
    ∂ f ∂ X = [ ∂ f ∂ X 1 , 1 ⋯ ∂ f ∂ X n , 1 ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f ∂ X 1 , m ⋯ ∂ f ∂ X n , m ] . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}}.} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}}.}
    Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh
    ∇ Y f = tr ⁡ ( ∂ f ∂ X Y ) , {\displaystyle \nabla _{\mathbf {Y} }f=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right),} {\displaystyle \nabla _{\mathbf {Y} }f=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right),}
    dengan tr melambangkan trace dari matriks.
  • Diferensial atau turunan matriks dari fungsi F : M ( n , m ) ⇒ M ( p , q ) {\displaystyle F:M(n,m)\Rightarrow M(p,q)} {\displaystyle F:M(n,m)\Rightarrow M(p,q)} adalah unsur dari M ( p , q ) ⊗ M ( m , n ) {\displaystyle M(p,q)\otimes M(m,n)} {\displaystyle M(p,q)\otimes M(m,n)}, sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.
    ∂ F ∂ X = [ ∂ F ∂ X 1 , 1 ⋯ ∂ F ∂ X n , 1 ⋮ ⋱ ⋮ ∂ F ∂ X 1 , m ⋯ ∂ F ∂ X n , m ] , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}},} {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}},}
    Catat pula bahwa tiap ∂F/∂Xi,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah
    d F ( Y ) = tr ⁡ ( ∂ F ∂ X Y ) . {\displaystyle d\mathbf {F} (\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right).} {\displaystyle d\mathbf {F} (\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right).}
    Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.

Persamaan identitas

[sunting | sunting sumber]

Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

  • Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X
    ∂ Z ∂ X = ∂ Z ∂ Y ∂ Y ∂ X {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {Y} }}{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}} {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {Y} }}{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}}
  • Kaidah darab:
    ∂ ( Y T Z ) ∂ X = ( Z T ) ∂ Y ∂ X + ( Y T ) ∂ Z ∂ X {\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {Y} ^{T}\mathbf {Z} )}{\partial \mathbf {X} }}=(\mathbf {Z} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}+(\mathbf {Y} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}} {\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {Y} ^{T}\mathbf {Z} )}{\partial \mathbf {X} }}=(\mathbf {Z} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}+(\mathbf {Y} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}}


Pranala luar

[sunting | sunting sumber]
  • (Inggris)Matrix calculus Diarsipkan 2003-06-13 di Wayback Machine. Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
  • (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual, Imperial College London.
  • (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_matriks&oldid=18341502"
Kategori:
  • Kalkulus
Kategori tersembunyi:
  • Semua artikel perlu dikembangkan
  • Artikel yang menggunakan kotak pesan kecil
  • Artikel yang perlu dikembangkan Mei 2021
  • Templat webarchive tautan wayback

Best Rank
More Recommended Articles