Kohimpunan

Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup $H$ dari grup $G$ dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari $G$ menjadi disjoint sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya $H$ . Lebih lanjut, $H$ itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri $H$ di $G$ sama dengan jumlah koset kanan dari $H$ di $G$ . Nilai yang sama disebut indeks dari $H$ dalam bahasa $G$ dan biasanya dilambangkan dengan $[G : H]$ .

Kohimpunan adalah alat dasar dalam mempelajari grup; misalnya, mereka memainkan peran sentral dalam Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa untuk grup hingga $G$ , jumlah elemen dari setiap subgrup $H$ dari $G$ membagi jumlah elemen $G$ . Koset dari jenis subgrup tertentu (subgrup normal) dapat digunakan sebagai elemen dari grup lain yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor. Kohimpunan juga muncul di bidang matematika lain seperti ruang vektor dan kode koreksi kesalahan.

Definisi

Misalkan $H$ menjadi subgrup dari grup $G$ yang operasinya ditulis secara multiplikatif (penjajaran berarti menerapkan operasi grup). Diberikan elemen $g$ dari $G$ , 'coset kiri' dari $H$ ke $G$ adalah himpunan diperoleh dengan mengalikan setiap elemen $H$ dengan elemen tetap $g$ dari $G$ (di mana $g$ adalah faktor kiri). Dalam simbol ini adalah,

gH = {gh : h sebuah elemen dari H

} untuk setiap

g

di

G

.

Kohimpunan kanan didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa elemen $g$ sekarang merupakan faktor kanan, yaitu,

Hg = {hg : h sebuah elemen dari H

} untuk

g

ke

G

.

Karena $g$ bervariasi di seluruh grup, akan tampak bahwa banyak koset (kanan atau kiri) akan dihasilkan. Ini benar, tetapi kosetnya tidak semuanya berbeda. Faktanya, jika dua kohimpunan dari jenis yang sama memiliki setidaknya satu elemen yang sama, maka keduanya identik sebagai himpunan.^[1]

Jika operasi grup ditulis secara tambahan, seperti yang sering terjadi ketika grup adalah abelian, notasi yang digunakan berubah menjadi $g + H$ atau $H + g$ .

Contoh pertama

Misalkan $G$ adalah kelompok dihedral berorde enam. Elemen-elemennya dapat diwakili oleh ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b$ }. Dalam grup ini $a 3 = b 2 = I$ dan $ba = a -1 b = a 2 b$ . Ini adalah informasi yang cukup untuk mengisi seluruh tabel perkalian:

*	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$I$	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$a$	$a$	$a 2$	$I$	$ab$	$a 2 b$	$b$
$a 2$	$a 2$	$I$	$a$	$a 2 b$	$b$	$ab$
$b$	$b$	$a 2 b$	$ab$	$I$	$a 2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a 2 b$	$a$	$I$	$a 2$
$a 2 b$	$a 2 b$	$ab$	$b$	$a 2$	$a$	$I$

Misalkan $T$ menjadi subgrup ${I, b$ }. Kohimpunan kiri (berbeda) dari $T$ adalah:

IT = T = {I, b

},

aT = {a, ab

}, and

a 2 T = {a 2, a 2 b

}.

Karena semua elemen $G$ sekarang telah muncul di salah satu kohimpunan ini, menghasilkan Kohimpunan lagi tidak dapat menghasilkan kohimpunan baru, karena kohimpunan baru harus memiliki unsur yang sama dengan salah satunya dan karenanya identik dengan salah satu kohimpunan ini. Contohnya, $abT = {ab, a} = aT$ .

Kohimpunan kanan dari $T$ adalah:

TI = T = {I, b

},

Ta = {a, ba} = {a, a 2 b

} , dan

Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab

}.

Dalam contoh ini, kecuali untuk $T$ , tidak ada koset kiri yang juga merupakan kohimpunan kanan.

Misalkan $H$ menjadi subgrup ${I, a, a 2$ }. Kohimpunan kiri dari $H$ adalah $IH = H$ dan $bH = {b, ba, ba 2$ }. Kohimpunan kanan dari $H$ adalah $HI = H$ dan $Hb = {b, ab, a 2 b} = {b, ba 2, ba}$ . Dalam hal ini, setiap kohimpunan kiri dari $H$ juga merupakan kohimpunan kanan dari $H$ .^[2]

Properti

Karena $H$ adalah subgrup, ia berisi elemen identitas grup, dengan hasil bahwa elemen $g$ milik kohimpunan $gH$ . If $x$ jadi milik $gH$ $xH = gH$ . Jadi, setiap elemen dari $G$ tepat berada di satu koset kiri subgrup $H$ .^[1]

Identitas tersebut tepat berada di satu kohimpunan kiri atau kanan, yaitu $H$ . Jadi $H$ adalah kohimpunan kiri dan kanan dari dirinya sendiri.^[2]

Elemen $g$ dan $x$ termasuk dalam koset kiri yang sama dari $H$ , yaitu, $xH = gH$ jika dan hanya jika $g -1 x$ belongs to $H$ .^[1] Lebih lanjut bisa dikatakan di sini. Definisikan dua elemen dari $G$ , katakanlah $x$ dan $y$ , agar setara sehubungan dengan subgrup $H$ jika $x -1 y$ milik $H$ . Ini kemudian menjadi relasi ekivalen pada $G$ dan kelas ekivalen dari relasi ini adalah koset kiri dari $H$ .^[3] Seperti halnya himpunan kelas ekivalen, mereka membentuk partisi dari himpunan yang mendasarinya. Repsentasi kohimpunan adalah perwakilan dalam pengertian kelas kesetaraan. Satu set perwakilan dari semua koset disebut transversal. Ada jenis relasi ekivalen lain dalam sebuah grup, seperti konjugasi, yang membentuk kelas berbeda yang tidak memiliki properti yang dibahas di sini.

Pernyataan serupa berlaku untuk koset kanan.

Jika $G$ adalah grup abelian, maka $g + H = H + g$ untuk setiap subkelompok $H$ dari $G$ dan setiap elemen $g$ dari $G$ . Untuk kelompok umum, diberi elemen $g$ dan subgrup $H$ dari grup $G$ , koset kanan dari $H$ terkait dengan $g$ juga merupakan koset kiri dari subgrup konjugasi $g -1 Hg$ dengan $g$ , adalah, $Hg = g (g -1 Hg)$ .

Subgrup normal

Subgrup $N$ dari grup $G$ adalah subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika untuk semua elemen $g$ dari $G$ yang sesuai, adalah, $gN = Ng$ . Ini adalah kasus untuk subgrup $H$ pada contoh pertama di atas. Selanjutnya, kohimpunan dari $N$ dalam $G$ membentuk sebuah grup yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor

Jika $H$ bukan normal di $G$ , kohimpunan kirinya berbeda dengan Kohimpunan kanannya. Artinya, ada $a$ di $G$ sehingga tidak ada elemen b yang memenuhi $aH = Hb$ . Ini berarti bahwa partisi $G$ ke kohimpunan kiri $H$ adalah partisi yang berbeda dengan partisi $G$ ke dalam Kohimpunan kanan dari $H$ . Ini diilustrasikan oleh subgrup $T$ pada contoh pertama di atas. ( Beberapa kohimpunan bertepatan. Misalnya, jika $a$ ada di pusat dari $G$ , t $aH = Ha$ .)

Sebaliknya, jika subgrup N normal, himpunan semua kohimpunan membentuk grup yang disebut grup hasil bagi $G / N$ dengan operasi ∗ ditentukan oleh $(aN) * (bN) = abN$ . Karena setiap kohimpunan kanan adalah kohimpunan kiri, maka tidak perlu membedakan "kohimpunan kiri" dari "kohimpunan kanan".

Indeks subgrup

Setiap koset kiri atau kanan dari $H$ memiliki jumlah elemen yang sama (atau kardinalitas dalam kasus tak terbatas $H ' '$ ) sebagai $' 'H' '$ itu sendiri. Selain itu, jumlah koset kiri sama dengan jumlah koset kanan dan dikenal sebagai 'indeks' dari H dalam G , ditulis $[$ G : H ]. Teorema Lagrange memungkinkan kita untuk menghitung indeks dalam kasus di mana G dan H :

|G|=[G:H]|H|

.

Persamaan ini juga berlaku dalam kasus di mana kelompok tidak terbatas, meskipun artinya mungkin kurang jelas.

Contoh lainnya

Bilangan bulat

Misalkan $G$ menjadi grup aditif dari bilangan bulat, $ℤ = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ dan $H$ subgrup $(3 ℤ, +) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +)$ . Maka koset dari $H$ dalam $G$ adalah tiga himpunan $3 ℤ$ , $3 ℤ + 1$ , dan $3 ℤ + 2$ , dimana $3 ℤ + a = {..., -6 + a, -3 + a, a, 3 + a, 6 + a, ...$ }. Ketiga himpunan ini mempartisi himpunan 'ℤ' , jadi tidak ada koset kanan lain dari $H$ . Karena komutivitas penambahan $H + 1 = 1 + H$ dan $H + 2 = 2 + H$ . Artinya, setiap koset kiri $H$ juga merupakan koset kanan, jadi $H$ adalah subgrup normal.^[4] (Argumen yang sama menunjukkan bahwa setiap subgrup Abelian adalah normal.^[5])

Contoh ini dapat digeneralisasikan. Sekali lagi biarkan $G$ menjadi grup aditif dari bilangan bulat, $ℤ = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ , dan sekarang biarkan $H$ subgrup $(m ℤ, +) = ({..., -2 m, - m, 0, m, 2 m, ...}, +)$ , dengan $m$ adalah bilangan bulat positif. Maka koset dari $H$ dalam $G$ adalah himpunan $m$ $m ℤ$ , $m ℤ + 1$ , ..., $m ℤ + (m - 1)$ , dimana $m ℤ + a = {..., -2 m + a, - m + a, a, m + a, 2 m + a, ...$ }. Tidak lebih dari $m$ Kohimpunan, karena $m ℤ + m = m (ℤ + 1) = m ℤ$ . Kohimpunan $(m ℤ + a, +)$ adalah kelas kesesuaian dari $a$ ke modulo $m$ .^[6] Subgrup $m ℤ$ normal $ℤ$ , dan dengan demikian, dapat digunakan untuk membentuk kelompok hasil bagi $ℤ /m ℤ$ kelompok bilangan bulat mod m.

Vektor

Contoh lain dari berasal dari teori ruang vektor. Unsur-unsur (vektor) ruang vektor membentuk gruo abelian di bawah penjumlahan vektor. subruang dari ruang vektor adalah subgrup dari grup ini. Untuk ruang vektor $V$ , subruang $W$ , dan vektor tetap $a$ → pada $V$ , himpunan nya

\{{\vec {x}}\in V\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+{\vec {w}},{\vec {w}}\in W\}

disebut affine subspace s, dan merupakan coset (kiri dan kanan, karena grupnya abelian). Dalam hal vektor 3 dimensi geometris, subruang affine ini adalah semua "garis" atau "bidang" paralel ke subruang, yang merupakan garis atau bidang yang melewati titik asal. Misalnya, perhatikan bidang ℝ². Jika $m$ adalah garis melalui asal $O$ , maka $m$ adalah subgrup dari grup abelian ℝ². Jika $P$ masuk ℝ², maka kohimpunan $P + m$ adalah garis $m '$ sejajar dengan $m$ dan melewati $P$ .^[7]

Matriks

Misalkan $G$ adalah kelompok matriks perkalian,^[8]

G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},

dan subgrup $H$ dari $G$ ,

H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.

Untuk elemen tetap dari $G$ pertimbangkan kohimpunan kiri

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}

Artinya, koset kiri terdiri dari semua matriks di $G$ yang memiliki entri kiri atas yang sama. Subgrup ini $H$ normal di $G$ , tetapi subgrup

T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}

tidak normal pada $G$ .

Sebagai orbit dari tindakan grup

Subgrup $H$ dari grup $G$ bisa digunakan untuk mendefinisikan aksi dari $H$ pada $G$ di dua cara alami. tindakan kanan, $G \times H \to G$ diberikan oleh $(g, h) \to gh$ atau tindakan kiri, $H \times G \to G$ diberikan oleh $(h, g) \to hg$ . orbit dari $g$ di bawah aksi kanan adalah kohimpunan kiri $gH$ , sedangkan orbit di bawah aksi kiri adalah kohimpunan kanan $Hg$ .^[9]

Sejarah

Konsep koset berasal dari karya Galois tahun 1830-31. Dia memperkenalkan notasi tetapi tidak memberikan nama untuk konsep tersebut. Istilah "co-set" muncul untuk pertama kalinya pada tahun 1910 dalam makalah oleh G. A. Miller di Quarterly Journal of Mathmatics (vol. 41, p. 382). Berbagai istilah lain telah digunakan termasuk jerman Nebengruppen (Weber) dan grup konjugasi (Burnside).^[10]

Galois prihatin dengan menentukan kapan persamaan polinomial tertentu dapat diselesaikan dari radikal. Sebuah alat yang dia kembangkan adalah dengan mencatat bahwa subkelompok $H$ dari sekelompok permutasi $G$ menginduksi dua dekomposisi $G$ (apa yang kita sekarang kohimpunan kiri dan kanan). Jika dekomposisi ini bertepatan, yaitu jika koset kiri sama dengan kohimpunan kanan, lalu ada cara untuk mengurangi masalah menjadi salah satu dengan mengerjakan $H$ , bukan $G$ . Camille Jordan dalam komentarnya tentang karya Galois pada tahun 1865 dan 1869 menguraikan ide-ide ini dan mendefinisikan subkelompok normal seperti yang telah kita bahas di atas, meskipun dia tidak menggunakan istilah ini.^[5]

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b ^c Rotman 2006, p. 156
^ ^a ^b Dean 1990, p. 100
^ Rotman 2006, p.155
^ Fraleigh 1994, p. 117
^ ^a ^b Fraleigh 1994, p. 169
^ Joshi 1989, p. 323
^ Rotman 2006, p. 155
^ Burton 1988, pp. 128, 135
^ Jacobson 2009, p. 52
^ Miller 2012, p. 24 footnote

Referensi

Burton, David M. (1988), Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
Dean, Richard A. (1990), Classical Abstract Algebra, Harper and Row, ISBN 0-06-041601-7
Fraleigh, John B. (1994), A First Course in Abstract Algebra (Edisi 5th), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
Hall, Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, The Macmillan Company
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra I (Edisi 2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Joshi, K. D. (1989), "§5.2 Cosets of Subgroups", Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, hlm. 322 ff, ISBN 81-224-0120-1
Miller, G. A. (2012) [1916], Theory and Applications of Finite Groups, Applewood Books, ISBN 9781458500700
Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (Edisi 3rd), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
Scott, W.R. (1987), "§1.7 Cosets and index", Group Theory, Courier Dover Publications, hlm. 19 ff, ISBN 0-486-65377-3

Bacaan lebih lanjut

Zassenhaus, Hans J. (1999), "§1.4 Subgroups", The Theory of Groups, Courier Dover Publications, hlm. 10 ff, ISBN 0-486-40922-8

Pranala luar

(Inggris) Nicolas Bray. "Coset". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Left Coset". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Right Coset". MathWorld.
Ivanova, O.A. (2001) [1994], "Coset in a group", dalam Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Coset di PlanetMath.
Illustrated examples
"Coset". groupprops. The Group Properties Wiki.

[Rotman2006-1] Rotman 2006, p. 156

[Dean-2] Dean 1990, p. 100

[3] Rotman 2006, p.155

[4] Fraleigh 1994, p. 117

[Fraleigh-5] Fraleigh 1994, p. 169

[6] Joshi 1989, p. 323

[7] Rotman 2006, p. 155

[8] Burton 1988, pp. 128, 135

[Jacobson-9] Jacobson 2009, p. 52

[10] Miller 2012, p. 24 footnote

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]