Luas lingkaran

Geometri
Proyeksi sebuah lingkaran pada sebuah bidang
Garis besar Sejarah
Cabang Euklides takEuklides Elips Bola Hiperbola Geometri non-Archimedes Projektif Afin Sintetis Analitis Aljabar Aritmetika Diophantus Diferensial Riemann Simplektik Diferensial diskret Kompleks Tentu Diskrit Digital Cembung Komputasi Fraktal Insidens
Konsep Tampilan Dimensi Melukis dengan penggaris dan jangka busur Sudut Kurva Diagonal Ortogonalitas (tegak lurus) Sejajar Titik pojok Kekongruenan Keserupaan Simetri
Dimensi nol Titik
Dimensi satu Garis segmen sinar Panjang
Dimensi dua Bidang Luas Poligon Segitiga Tinggi Hipotenusa Teorema Phytagoras Jajaran genjang Persegi Persegi panjang Belah ketupat Segi empat Trapesium Layang-layang Lingkaran Diameter Keliling Luas
Dimensi tiga Volume Kubus Balok Tabung Limas Bola
Dimensi empat dan lainnya Tesseract Hiperbola
Ahli geometri
Berdasarkan nama Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Daftar ahli geometri
Berdasarkan waktu BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400-an Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400-an–1700-an Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700an–1900an Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Sekarang Atiyah Gromov
l b s

Bagian dari serial artikel mengenai
π
Artikel mengenai π
${\displaystyle 3.141\,529\,653\,587\,893\,238\,462\,\dots }$
Penggunaan Luas lingkaran Keliling lingkaran
Sifat Irasional Transenden
Nilai Kurang dari 22/7 Perkiraan Mengingat π
Tokoh Archimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Chudnovsky bersaudara Yasumasa Kanada
Sejarah Kronologi Buku
Budaya Hari Pi
Topik terkait Mengotakkan lingkaran Masalah Basel 6 buah angka "9" pada π Artikel lainnya
Portal Matematika
l b s

Dalam geometri, luas lingkaran adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa lingkaran, dan galibnya, luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$.

Pada rumus di atas, simbol ${\displaystyle A}$ adalah luas lingkaran, ${\displaystyle r}$ adalah jari-jari atau dikenal sebagai radius, dan ${\displaystyle \pi }$ (huruf Yunani yang dibaca pi) adalah konstanta Archimedes yang diaproksimasikan sebagai ${\displaystyle 3.1415\dots }$.

Matematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode kalkulus integral atau turunan yang lebih canggih, analisis riil. Namun luas cakram dipelajari oleh Yunani Kuno. Eudoxus dari Cnidus pada abad kelima SM, telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya.^[1] Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran dalam bukunya Pengukuran Lingkaran. Kelilingnya ${\displaystyle 2\pi r}$, dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas ${\displaystyle \pi r^{2}}$untuk cakram. Sebelum Archimedes, Hippocrates adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadraturnya dalam bulan sabit Hippocrates,^[2] tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas.

Selama lebih dari 2000 tahun yang silam, Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian.^[3]

Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris (anggap lingkaran berjari-jari 1), kita perhatikan poligon dalam beraturan ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\dots }$ dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi, dst. Luas lingkaran adalah limit ketika ${\displaystyle n\to \infty }$ dari luas-luas ${\displaystyle P_{n}}$. Misal ${\displaystyle A}$ menyatakan luas suatu daerah, maka

${\displaystyle A({\text{lingkaran}})=\lim _{n\to \infty }A(P_{n})}$.^[3]

Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar.

Tinjau daerah dengan selang ${\displaystyle [-r,r]}$, maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$.

${\displaystyle A_{\text{setengah lingkaran}}=\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left.{\frac {r^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{r}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\right|_{-r}^{r}={\frac {r^{2}}{2}}\left[{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right]={\frac {\pi r^{2}}{2}}}$.^[4]

Luas lingkaran, ialah dua kali dari luas semilingkaran, maka kita tuliskan

${\displaystyle A_{\text{lingkaran}}=2A_{\text{setengah lingkaran}}=\pi r^{2}}$.

Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang (sebagai estimasi saja). Dengan memotong lingkaran sehingga masing-masing luas juring adalah sama, serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut (dengan warna putih dan kuning, lihat gambar) menjadi persegi panjang, maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran.^[5]

Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang, yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan jari-jari.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^{2}}$.^[5]

Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran, kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku-siku. Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi, maka kita dapat memisalkan masing-masing jari-jari dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada segitiga siku-siku.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^{2}}$

• Diameter, dua kalinya jari-jari.
• Lingkaran
• Bulan sabit Hippocrates