Teorema basis Hilbert

Dalam matematika, teorema basis Hilbert menyatakan bahwa setiap ideal dari sebuah gelanggang polinomial atas sebuah lapangan memiliki himpunan pembangkit berhingga (basis berhingga dalam terminologi Hilbert).

Dalam aljabar modern, gelanggang yang idealnya memiliki sifat ini disebut gelanggang Noetherian. Setiap medan dan gelanggang bilangan bulat adalah gelanggang Noetherian. Jadi, teorema tersebut dapat digeneralisasikan dan dinyatakan kembali sebagai: setiap gelanggang polinomial di atas gelanggang Noetherian juga merupakan gelanggang Noetherian.

Teorema ini digagas dan dibuktikan oleh David Hilbert pada tahun 1890 dalam artikelnya mengenai teori invarian ^[1], dimana ia memecahkan beberapa masalah mengenai invarian. Dalam artikel ini, ia juga membuktikan dua teorema fundamental lainnya tentang polinomial, Nullstellensatz (teorema lokus-nol) dan teorema syzygy (teorema tentang hubungan). Ketiga teorema ini merupakan titik awal penafsiran geometri aljabar dalam istilah aljabar komutatif. Secara khusus, teorema dasar menyiratkan bahwa setiap himpunan aljabar merupakan irisan dari sejumlah hiperpermukaan yang terbatas.

Aspek lain dari artikel karya Hilbert tersebut memiliki dampak besar pada matematika abad ke-20; yaitu penggunaan metode non-konstruktif secara sistematis. Misalnya, teorema dasar menyatakan bahwa setiap ideal memiliki himpunan generator yang terbatas, tetapi pembuktian awal tidak memberikan cara untuk menghitungnya untuk ideal tertentu. Pendekatan ini sangat mengherankan bagi para matematikawan pada masa itu sehingga versi pertama artikel tersebut ditolak oleh Paul Gordan, spesialis invarian terbesar pada masa itu, dengan komentar "Ini bukan matematika. Ini teologi." ^[2] Kemudian, ia mengakui "Saya telah meyakinkan diri sendiri bahwa bahkan teologi memiliki manfaatnya." ^[3]

Jika ${\displaystyle R}$ adalah sebuah gelanggang, misalkan ${\displaystyle R[X]}$ menunjukkan gelanggang polinomial dalam bentuk tak tentu ${\displaystyle X}$ lebih ${\displaystyle R}$ . Hilbert membuktikan bahwa jika ${\displaystyle R}$ "tidak terlalu besar", dalam artian jika ${\displaystyle R}$ adalah Noetherian, hal yang sama juga berlaku untuk ${\displaystyle R[X]}$ . Secara formal,

Teorema Dasar Hilbert. Jika ${\displaystyle R}$ adalah cincin Noetherian, maka ${\displaystyle R[X]}$ adalah cincin Noetherian.^[4]

Sebagai korolari/akibat. Jika ${\displaystyle R}$ adalah cincin Noetherian, maka ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$ adalah cincin Noetherian.

Hilbert membuktikan teorema tersebut (untuk kasus khusus polinomial multivariat atas suatu lapangan) dalam perjalanan pembuktiannya tentang pembangkitan terbatas dari cincin-gelanggang invarian .^[1] Teorema ini ditafsirkan dalam geometri aljabar sebagai berikut: setiap himpunan aljabar adalah himpunan nol umum dari polinomial yang jumlahnya terhingga.

Pembuktian Hilbert bersifat non-konstruktif: pembuktian tersebut dilakukan melalui induksi pada jumlah variabel, dan, pada setiap langkah induksi menggunakan pembuktian non-konstruktif untuk satu variabel kurang. Diperkenalkan lebih dari delapan puluh tahun kemudian, basis Gröbner memungkinkan pembuktian langsung yang sekonstruktif mungkin: Basis Gröbner menghasilkan algoritma untuk menguji apakah suatu polinomial termasuk dalam ideal yang dihasilkan oleh polinomial lain. Jadi, jika diberikan suatu deret polinomial tak terhingga, seseorang dapat menyusun secara algoritmik daftar polinomial yang tidak termasuk ideal yang dihasilkan oleh polinomial sebelumnya. Teori dasar Gröbner menyiratkan bahwa daftar ini tentu terbatas, dan dengan demikian merupakan dasar ideal yang terbatas. Akan tetapi, untuk memutuskan apakah daftar itu lengkap, seseorang harus mempertimbangkan setiap elemen dari urutan tak terhingga, yang tidak dapat dilakukan dalam waktu terbatas yang diberikan kepada suatu algoritma.

Teorema. Jika ${\displaystyle R}$ adalah cincin Noetherian kiri (resp. kanan), maka cincin polinomial ${\displaystyle R[X]}$ juga merupakan cincin Noetherian kiri (resp. kanan).

Komentar. Akan diberikan dua pembuktian, di keduanya hanya kasus "kiri" yang dipertimbangkan; pembuktian untuk kasus kanan serupa.

Diketahui ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ adalah ideal kiri yang dihasilkan secara tak terhingga. Kemudian dengan rekursi (menggunakan aksioma pilihan dependen ) ada urutan polinomial ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ sedemikian rupa sehingga jika ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ adalah ideal kiri yang dihasilkan oleh ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$ Kemudian ${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$ adalah tingkat minimal. Berdasarkan konstruksinya, ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$ adalah barisan bilangan asli yang tidak menurun. Diketahui ${\displaystyle a_{n}}$ menjadi koefisien terdepan dari ${\displaystyle f_{n}}$ dan biarkan ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ jadilah ideal kiri di ${\displaystyle R}$ dihasilkan oleh ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ . Sejak ${\displaystyle R}$ Noetherian adalah rantai ideal-ideal berupa

${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$

harus diakhiri. Dengan demikian ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$ untuk beberapa bilangan bulat ${\displaystyle N}$ . Jadi secara khusus,

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

Sekarang pertimbangkan

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

yang suku utamanya sama dengan ${\displaystyle f_{N}}$ ; lebih-lebih lagi, ${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$ . Namun, ${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$, yang berarti bahwa ${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$ memiliki derajat kurang dari ${\displaystyle f_{N}}$, bertentangan dengan minimalitas.

Diketahui ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ menjadi ideal kiri. Diketahui ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ menjadi himpunan koefisien utama anggota ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ . Ini jelas merupakan sebuah ideal kiri atas ${\displaystyle R}$, dan juga dihasilkan secara terbatas oleh koefisien terdepan dari anggota yang jumlahnya terbatas ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ; mengatakan ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$ . Membiarkan ${\displaystyle d}$ menjadi nilai maksimum dari himpunan ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$, dan biarkan ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ menjadi himpunan koefisien utama anggota ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, yang gelarnya ${\displaystyle \leq k}$ . Seperti sebelumnya, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ adalah ideal-ideal kiri atas ${\displaystyle R}$, dan juga dihasilkan secara terbatas oleh koefisien terdepan dari anggota yang jumlahnya terbatas ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, anggaplah

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

dengan derajat${\displaystyle \leq k}$ . Sekarang mari ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$ menjadi ideal kiri yang dihasilkan oleh:

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$

Diketahui ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ dan klaim juga ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$. Misalkan saja demi kontradiksi, hal ini tidak demikian. Lalu diketahui ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ memiliki derajat minimal, dan menunjukkan koefisien utamanya dengan ${\displaystyle a}$ .

Kasus 1: ${\displaystyle \deg(h)\geq d}$ . Terlepas dari kondisi ini, terdapat ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$, Jadi ${\displaystyle a}$ adalah kombinasi linier kiri dari

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

dari koefisien ${\displaystyle f_{j}}$ . Mempertimbangkan

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

yang memiliki suku utama yang sama dengan ${\displaystyle h}$ ; lebih-lebih lagi ${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ ketika ${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$ . Karena itu ${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ Dan ${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$, yang bertentangan dengan minimalitas.

Kasus 2: ${\displaystyle \deg(h)=k<d}$ . Kemudian ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$ Jadi ${\displaystyle a}$ adalah kombinasi linier kiri

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

dari koefisien utama dari ${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$ . Mempertimbangkan

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$

akan dihasilkan kontradiksi serupa seperti pada Kasus 1.

Oleh karena itu, klaim terbukti benar, dan ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$ yang dihasilkan secara terbatas.

Perlu dicatat bahwa satu-satunya alasan kasus ini harus dibagi menjadi dua adalah untuk memastikan bahwa kewenangan ${\displaystyle X}$ perkalian faktor-faktornya tidak negatif dalam konstruksi.

Membiarkan ${\displaystyle R}$ menjadi sebuah gelanggang komutatif Noetherian. Teorema dasar Hilbert memiliki beberapa akibat langsung.

1. Dengan induksi kita melihat bahwa ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ juga akan menjadi Noetherian.
2. Karena setiap varietas afin di atas ${\displaystyle R^{n}}$ (yaitu himpunan tempat kedudukan kumpulan polinomial) dapat ditulis sebagai tempat kedudukan ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ dan selanjutnya sebagai tempat kedudukan pembangkitnya, maka setiap varietas afin adalah tempat kedudukan polinomial yang tak terhingga banyaknya — yaitu irisan hiperpermukaan yang tak terhingga banyaknya.
3. Jika ${\displaystyle A}$ adalah hasil yang dihasilkan secara terbatas <span about="#mwt100" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;R&quot;}}" id="16" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;"></span> -aljabar, maka kita tahu bahwa ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$, Di mana ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ adalah suatu cita-cita. Teorema dasar menyiratkan bahwa ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ harus dihasilkan secara terbatas, katakanlah ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$, yaitu ${\displaystyle A}$ disajikan secara terbatas .

1. ^ ^{a b} Hilbert, David (1890). "Über die Theorie der algebraischen Formen". Mathematische Annalen. 36 (4): 473–534. doi:10.1007/BF01208503. ISSN 0025-5831. S2CID 179177713.
2. ^ Reid 1996, hlm. 34.
3. ^ Reid 1996
4. ^ Roman 2008

• Cox, Little, and O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 1997.
• Reid, Constance. (1996). Hilbert. New York: Springer. ISBN 0-387-94674-8. The definitive English-language biography of Hilbert.
• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5