Bayangan (matematika)

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam matematika, bayangan (bahasa Inggris: image) fungsi adalah himpunan dari semua nilai output (keluaran) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi ${\displaystyle f}$ yang diketahui di setiap anggota subhimpunan ${\displaystyle A}$ dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan ${\displaystyle A}$ di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, prabayangan (bahasa Inggris: preimage) subhimpunan ${\displaystyle B}$ dari kodomain ${\displaystyle f}$ adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota ${\displaystyle B.}$

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.

Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ menyatakan fungsi ${\displaystyle f}$ yang memetakan dari himpunan ${\displaystyle X}$ ke himpunan ${\displaystyle Y}$.

Bayangan anggota

Jika ${\displaystyle x}$ anggota dari ${\displaystyle X}$, maka bayangan ${\displaystyle x}$ di bawah ${\displaystyle f}$, dinotasikan ${\displaystyle f(x)}$, adalah nilai keluaran ${\displaystyle f}$ untuk argumen ${\displaystyle x}$.

Bayangan subhimpunan

Misalkan ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ adalah fungsi. Bayangan di bawah ${\displaystyle f}$ dari subhimpunan ${\displaystyle A\subseteq X}$ adalah himpunan semua ${\displaystyle f(a)}$ untuk ${\displaystyle a\in A}$, diberi notasi ${\displaystyle f[A]}$. Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:^[1][2]$${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$Dengan demikian, akan menyebabkan ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ dengan ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ menyatakan himpunan kuasa dari himpunan ${\displaystyle S}$, himpunan yang mengandung semua subhimpunan ${\displaystyle S}$. Lihat § Notasi di bawah.

Bayangan fungsi

Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range fungsi.^[3] Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain ${\displaystyle f}$.

Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner

Jika ${\displaystyle R}$ menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$, dinotasikan ${\displaystyle X\times Y}$, maka himpunan ${\displaystyle \{y\in Y\mid xRy{\text{ untuk beberapa }}x\in X\}}$ disebut bayangan atau range ${\displaystyle R}$. Himpunan ${\displaystyle \{x\in X\mid xRy{\text{ untuk beberapa }}y\in Y\}}$ disebut daerah asal ${\displaystyle R}$.

Misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi yang dipetakan dari ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle Y.}$ Prabayangan dari hmpunan ${\displaystyle B\subseteq Y}$ di bawah ${\displaystyle f,}$ diberi notasi ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ adalah subhimpunan ${\displaystyle X}$ yang didefinisikan dengan$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ dan ${\displaystyle f^{-}(B).}$^[4] Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ atau ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas ${\displaystyle y}$, atau himpunan aras dari ${\displaystyle y.}$ Himpunan dari semua fiber atas anggota ${\displaystyle Y}$ merupakan keluarga himpunan dengan indeks ${\displaystyle Y.}$

Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit ^[5] untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:

Notasi panah

${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ dengan ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$

${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ dengan ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Notasi bintang

${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ sebagai pengganti ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$

${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ sebagai pengganti ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Notasi lain

Notasi lain untuk ${\displaystyle f[A]}$ yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah '${\displaystyle f^{\prime \prime }A}$.^[6][7]

Contoh lawan yang didasari pada bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ yang didefinisikan dengan ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$, menunjukkan bahwa persamaan tak harus berlaku untuk beberapa hukum:

Bayangan yang memperlihatkan himpunan tak sama: ${\displaystyle f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).}$ Himpunan ${\displaystyle A=[-4,2]}$ dan ${\displaystyle B=[-2,4]}$ diperlihatkan dengan garis berwarna biru di bawah sumbu-${\displaystyle x}$, sedangkan irisan dari ${\displaystyle A_{3}=[-2,2]}$ diperlihatkan dengan daerah berwarna hijau.

${\displaystyle f(f^{-1}(B^{3})\subsetneq B^{3}}$

${\displaystyle f^{-1}(f(A^{4}))\supsetneq A^{4}}$

Untuk setiap fungsi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ dan semua himpunan bagian ${\displaystyle A\subseteq X}$ and ${\displaystyle B\subseteq Y}$, berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan	Prabayangan
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (adalah sama jika ${\displaystyle B\subseteq f(X)}$, sebagai contoh, jika ${\displaystyle f}$ surjektif)[8][9]	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (adalah sama jika ${\displaystyle f}$ injektif)[8][9]
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing }$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }$ jika dan hanya jika ${\displaystyle B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B}$ jika dan hanya jika terdapat ${\displaystyle C\subseteq A}$ sehingga ${\displaystyle f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[8]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$[10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[10]
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$[10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[10]

Juga:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing }$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Untuk fungsi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ dan ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ dengan subhimpunan ${\displaystyle A\subseteq X}$ dan ${\displaystyle C\subseteq Z}$, berlaku sifat-sifat berikut:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Untuk fungsi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ dan subhimpunan ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$ and ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$, berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan	Prabayangan
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[10][11]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[10][11] (adalah sama jika ${\displaystyle f}$ injektif[12])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[10] (adalah sama jika ${\displaystyle f}$ injektif[12])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$[10]
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (adalah sama jika ${\displaystyle f}$ injektif)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

${\displaystyle S}$ dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)

Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

• Kernel fungsi
• Inversi himpunan

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Templat:Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.

• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (Edisi 2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Templat:Munkres Topology