Bilangan tingkat

Representasi bilangan ordinal sampai ω^ω. Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω

Bilangan tingkat^[1] atau bilangan ordinal dalam teori himpunan adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan bilangan asli, berbeda dengan bilangan bulat dan dengan bilangan kardinal. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Bilangan tingkat diperkenalkan oleh Georg Cantor pada tahun 1883^[2] untuk mengakomodasi urutan tak terhingga dan untuk menggolongkan himpunan turunan, yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan deret trigonometri.^[3]

Contoh:

Himpunan bilangan tingkat kurang dari 3 adalah 3 = (0, 1, 2}, bilangan tingkat terkecil tidak kurang dari 3.
Himpunan bilangan tingkat terhingga adalah tak terhingga, bilangan ordinal tak terhingga terkecil: ω.
Himpunan bilangan tingkat terhitung adalah tak terhitung, bilangan tingkat tak terhitung terkecil: ω₁.

Lihat pula

Bilangan kardinal

Referensi

^ (Indonesia) Arti kata bilangan tingkat dalam situs web Kamus Besar Bahasa Indonesia oleh Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia.
^ Pengenalan menyeluruh diberikan oleh Levy (1979) dan Jech (2003).
^ Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", The British Journal for the Philosophy of Science, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, MR 0532548. See the footnote on p. 12.

Pustaka

Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
Dauben, Joseph Warren, (1990), Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Chapter 5: The Mathematics of Cantor's Grundlagen. ISBN 0-691-02447-2
Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms : the Apparatus of Mathematics, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5 See Ch. 6, "Ordinal and cardinal numbers"
Kanamori, A., Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
von Neumann, Johann (1923), "Zur Einführung der trasfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1: 199–208, diarsipkan dari asli tanggal 2014-12-18, diakses tanggal 2014-12-18
von Neumann, John (January 2002) [1923], "On the introduction of transfinite numbers", dalam Jean van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (Edisi 3rd), Harvard University Press, hlm. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 - English translation of von Neumann 1923.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Ordinal number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Ordinal Number". MathWorld.
Ordinals at ProvenMath
Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre^{[pranala nonaktif permanen]} Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
Ordinal calculator Diarsipkan 2015-02-06 di Wayback Machine. GPL'd free software for computing with ordinals and ordinal notations

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] (Indonesia) Arti kata bilangan tingkat dalam situs web Kamus Besar Bahasa Indonesia oleh Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia.

[2] Pengenalan menyeluruh diberikan oleh Levy (1979) dan Jech (2003).

[3] Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", The British Journal for the Philosophy of Science, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, MR 0532548. See the footnote on p. 12.

[1]

[2]

[3]

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural

l b s Teori himpunan
Umum	Himpunan (matematika)
Aksioma	Adjungsi Batas ukuran Determinasi Gabungan Himpunan kuasa Keberaturan Kebisadibangunan (V=L) Perluasan Pasangan Pemilihan tercacah terikat global Takhingga Aksioma Martin Skema aksioma penggantian spesifikasi
Operasi	Gabungan Gabungan lepas Himpunan kuasa Hukum De Morgan Irisan Komplemen Produk Kartesius Selisih himpunan Beda setangkup
Konsep Metode	Argumen diagonal Bilangan kardinal (besar) Bilangan ordinal Diagram Venn Elemen pasangan terurut rangkap Hipotesis kontinum Induksi lintas-hingga Kardinalitas Kelas Keluarga Korespondensi satu-ke-satu Pemaksaan Semesta yang bisa dibangun
Jenis himpunan	Himpunan bagian · Superhimpunan Berhingga (turun-temurun) Takhingga (takhingga Dedekind) Kabur Kosong Rekursif Semesta Tercacah Tak tercacah Transitif
Teori	Aksiomatik Alternatif Naif Teorema Cantor Zermelo Umum Principia Mathematica New Foundations (NF, NFU) Zermelo–Fraenkel (ZFC) von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoks Masalah	Paradoks Russell Masalah Suslin Paradoks Burali-Forti
Teoretisi himpunan	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine