Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras terdiri dari tiga bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$, sehingga ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Tripel Pythagoras sering kali ditulis ${\displaystyle (a,b,c)}$, dan contoh-contoh umumnya adalah ${\displaystyle (3,4,5)}$. Jika ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah tripel Pythagoras, maka berlaku juga dengan ${\displaystyle (ka,kb,kc)}$ untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle k}$. Segitiga yang sisinya membentuk tripel Pythagoras adalah segitiga siku-siku, dan dinamai segitiga Pythagoras.

Tripel Pythagoras primitif adalah tripel Pythagoras yang salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah bilangan koprima (yaitu, bilangan yang tidak mempunyai faktor persekutuan lebih besar dari 1).^[1] Sebagai contoh, ${\displaystyle (3,4,5)}$ adalah tripel Pythagoras primitif, sedangkan ${\displaystyle (6,8,10)}$ bukan. Setiap tripel Pythagoras dapat diperbesar menjadi tripel Pythagoras primitif yang tunggal dengan membagi ${\displaystyle (a,b,c)}$ dengan faktor persekutuan terbesar. Sebaliknya, setiap tripel Pythagoras dapat diperoleh dengan mengalikan anggota tripel Pythagoras primitif dengan bilangan bulat positif (sama halnya berlaku untuk tiga anggota itu).

Namanya berasla dari teorema Pythagoras yang menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Karena itu, tripel Pythagoras mengaitkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi yang bukan bilangan bulat tidak membentuk tripel Pythagoras. Sebagai contoh, bila sisi ${\displaystyle a=b=1}$ dan ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ membentuk segitiga siku-siku, maka ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ bukanlah tripel Pythagora, sebab ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ bukanlah bilangan bulat. Selain itu, ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ tidak memiliki kelipatan persekutuan bilangan bulat karena ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ adalah bilangan irasional.

Tripel Pythagoras sudah diketahui sejak masa kuno. Catatan pertama terkenalnya adalah Plimpton 322, lauh Babylonia sekitar 1800 SM yang ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Lauh ini ditemukan oleh Edgar James Banks setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.^[2]

Ketika menelusuri penyelesaian bilangan bulat, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ merupakan persamaan Diophantus. Karena itu, tripel Pythagoras merupakan penyelesaian persamaan Diophantus nonlinear yang diketahui sejak lama.

Adapun enam belas tripel Pythagoras primitif yang mencapai hingga 100:

${\displaystyle (3,4,5)}$	${\displaystyle (5,12,13)}$	${\displaystyle (8,15,17)}$	${\displaystyle (7,24,25)}$
${\displaystyle (20,21,29)}$	${\displaystyle (12,35,37)}$	${\displaystyle (9,40,41)}$	${\displaystyle (28,45,53)}$
${\displaystyle (11,60,61)}$	${\displaystyle (16,63,65)}$	${\displaystyle (33,56,65)}$	${\displaystyle (48,55,73)}$
${\displaystyle (13,84,85)}$	${\displaystyle (36,77,85)}$	${\displaystyle (39,80,89)}$	${\displaystyle (65,72,97)}$

Tripel Pythagoras kecil lainnya seperti ${\displaystyle (6,8,10)}$ tidak tercantum dari contoh tersebut, karena bukan primitif, sebab ${\displaystyle (6,8,10)}$ kelipatan dari ${\displaystyle (3,4,5)}$.

Selain itu, tabel berikut merupakan sisa tripel Pythagoras primitif sampai dengan 300:

${\displaystyle (20,99,101)}$	${\displaystyle (60,91,109)}$	${\displaystyle (15,112,113)}$	${\displaystyle (44,117,125)}$
${\displaystyle (88,105,137)}$	${\displaystyle (17,144,145)}$	${\displaystyle (24,143,145)}$	${\displaystyle (51,140,149)}$
${\displaystyle (85,132,157)}$	${\displaystyle (119,120,169)}$	${\displaystyle (52,165,173)}$	${\displaystyle (19,180,181)}$
${\displaystyle (57,176,185)}$	${\displaystyle (104,153,185)}$	${\displaystyle (95,168,193)}$	${\displaystyle (28,195,197)}$
${\displaystyle (84,187,205)}$	${\displaystyle (133,156,205)}$	${\displaystyle (21,220,221)}$	${\displaystyle (140,171,221)}$
${\displaystyle (60,221,229)}$	${\displaystyle (105,208,233)}$	${\displaystyle (120,209,241)}$	${\displaystyle (32,255,257)}$
${\displaystyle (96,247,265)}$	${\displaystyle (69,260,269)}$	${\displaystyle (115,252,277)}$
${\displaystyle (160,231,281)}$	${\displaystyle (161,240,289)}$	${\displaystyle (68,285,293)}$

Rumus Euklides^[3] adalah rumus dasar untuk menghasilkan tripel Pythagoras bila diketahui pasangan bilangan bulat sebarang ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dengan ${\displaystyle m>n>0}$. Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},b=2mn,c=m^{2}+n^{2}}$$ membentuk tripel Pythagoras. Sebagai contoh, diketahui ${\displaystyle m=2}$ dan ${\displaystyle n=1}$, maka rumus Euklides menghasilkan tripel primitif ${\displaystyle (3,4,5)}$. Tripel yang dihasilkan oleh rumus Euklides adalah primitif jika dan hanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan koprima dan setidaknya salah satunya bilangan genap. Ketika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ ganjil, maka ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ genap, dan tripel tidak lagi menjadi primitif. Akan tetapi, membagi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dengan 2 menghasilkan tripel primitf ketika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ koprima.^[4]

Setiap tripel primitif muncul (setelah pertukaran ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, jika ${\displaystyle a}$ adalah genap) dari pasangan tunggal bilangan koprima ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, yang salah satunya genap. Ini mengikuti bahwa ada tak terhingga banyaknya tripel Pythagoras primitif. Hubungan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dari rumus Eukildes akan dibahas sepanjang sisa artikel ini.

Meskipun menghasilkan semua tripel primitif, rumus Euklides tidak menghasilkan semua tripel, contohnya seperti ${\displaystyle (9,12,15)}$ tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$. Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan parameter tambahan ${\displaystyle k}$ ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua tripel Pythagoras secara tunggal: $${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$$ dengan ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, dan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dengan ${\displaystyle m>n}$, serta ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Mengenai rumus-rumus tersebut yang menghasilkan tripel Pythagoras dapat dibenarkan dengan memperluas ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ menggunakan aljabar elementer dan membenarkan bahwa hasilnya sama dengan ${\displaystyle c^{2}}$. Karena setiap tripel Pythagoras dapat dibagi menjadi lebih kecil lagi dengan bilangan bulat ${\displaystyle k}$ untuk mendapatkan tripel primitif, setiap tripel dapat dihasilkan secara tunggal dengan menggunakan rumus tersebut dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ untuk menghasilkan lawan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan dengan ${\displaystyle k}$ seperti persamaan terakhir.

Memilih ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan Pell berturut-turut, ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ memiliki selisih 1.^[5]

Banyak rumus-rumus untuk menghasilkan tripel dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan semenjak zaman Euklides.

Kepuasan persyaratan rumus Euklides oleh ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah cukup untuk mengubah suatu segitiga menjadi segitiga Pythagoras. Persyaratan tersebut tampaknya berasal dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m>n}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ yang dinyatakan oleh rumus sama-sama bilangan positif semua. Persyaratan tersebut juga berasal dari fakta bahwa$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$$Sebuah bukti keperluannya bahwa ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ diungkapkan oleh rumus Euklides untuk suatu tripel Pythagoras primitif adalah sebagai berikut.^[6] Semua tripel tersebut dapat ditulis sebagai ${\displaystyle (a,b,c)}$ dengan ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ serta ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ koprima. Karena itu, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, hal tersebut juga akan mendorong untuk membagi bilangan yang ketiga). Karena ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ koprima, setidaknya salah satu darinya bilangan ganjil. Jika seseorang menganggap bahwa ${\displaystyle a}$ ganjil, maka ${\displaystyle b}$ genap dan ${\displaystyle c}$ adalah ganjil (jika ${\displaystyle b}$ sebelumnya ganjil, ${\displaystyle c}$ akan menjadi genap, dan ${\displaystyle c^{2}}$ akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sedangkan ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4 sebagai bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari rumus ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, diperoleh ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$. Karena itu didapati ${\displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}}$. Maka ${\textstyle {\frac {(c+a)}{b}}={\frac {b}{(c-a)}}}$. Karena ${\textstyle {\frac {(c+a)}{b}}}$ adalah bilangan rasional, kita meletakkannya sama dengan ${\textstyle {\frac {m}{n}}}$ dalam bentuk pecahan paling sederhana. Demikian ${\textstyle {\frac {(c-a)}{b}}={\frac {n}{m}}}$ yang menjadi timbal balik dari ${\textstyle {\frac {(c+a)}{b}}}$. Lalu menyelesaikan

${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$

untuk ${\textstyle {\frac {c}{b}}}$ dan ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ memberikan

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

Karena ${\textstyle {\frac {m}{n}}}$ sudah dalam bentuk paling sederhana, ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima, dan kedua bilangan tersebut tidak dapat menjadi bilangan genap. Jika keduanya ganjil, pembilang dari ${\textstyle {\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$ akan menjadi kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya ${\displaystyle 2mn}$ tidak akan menjadi kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum yang mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum yang mungkin dalam penyebut, ini menyiratkan ${\displaystyle a}$ menjadi genap meskipun mendefinisikannya sebagai bilangan ganjil. Oleh karena demikian, salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan ganjil dan yang lainnya genap, dan pembilang dari dua pecahan dengan penyebut ${\displaystyle 2mn}$ adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini benar-benar dalam bentuk paling sederhana (suatu bilangan prima ganjil membagi penyebut ini membagi salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$, tetapi bukan yang lainnya; jadi, tidak membagi ${\displaystyle m^{2}\pm n^{2}}$). Seseorang dapat menyamakan penyebut dengan pembilang, dan pembilang dengan penyebut, sehingga menghasilkan rumus Euklides$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan dalam Maor (2007)^[7] dan Sierpiński (2003).^[8] Bukti lain diberikan dalam Persamaan Diophantus § Contoh tripel Pythagoras, sebagai contoh metode umum yang berlaku untuk setiap persamaan Diophantus berderajat dua yang homogen.

Misalkan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$, ${\displaystyle 2mn}$, dan ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$. Misalkan sudut antara sisinya yang memiliki panjang ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$ dan hipotenusa dengan panjang ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$ dinyatakan dengan ${\displaystyle \beta }$. Maka ${\textstyle \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)={\frac {m}{n}}}$ dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah ${\textstyle \sin \beta ={\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$, ${\textstyle \cos \beta ={\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$, dan ${\textstyle \tan \beta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$.^[9]

Bentuk lain rumus Euklides terkadang lebih cocok, karena terlihat lebih simetris dalam memperhatikan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ (sebagai syarat paritas yang sama kedua bilangan tersebut). Jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah sama-sama bilangan bulat ganjil sehingga ${\displaystyle m>n}$, maka$${\displaystyle a=mn,\ \,b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\ \,c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$$adalah tiga bilangan bulat yang membentuk tripel Pythagoras, yang merupakan primitif jika dan hanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ koprima. Sebaliknya, setiap tripel Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, jika ${\displaystyle a}$ adalah genap) dari pasangan tunggal ${\displaystyle m>n>0}$ dari bilangan bulat ganjil.

Sifat tripel Pythagoras primitif ${\displaystyle (a,b,c)}$ dengan ${\displaystyle a<b<c}$ (tanpa menentukan manakah dari ${\displaystyle a}$ atau ${\displaystyle b}$ yang genap dan yang ganjil) adalah sebagai berikut:

• ${\textstyle {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}$ selalu bilangan kuadrat sempurna.^[10] Karena ini hanya sebuah syarat perlu tapi bukan cukup, ini dapat digunakan dalam memeriksa jika tripel yang diketahui bukanlah tripel Pythagoras. Sebagai contoh, ${\displaystyle \{6,12,18\}}$ dan ${\displaystyle \{1,8,9\}}$ memenuhi ${\textstyle {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}$ sebagai bilangan kuadrat sempurna, tapi kedua tripel tersebut bukanlah tripel Pythagoras.
• Ketika tripel ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ membentuk tripel Pythagoras primitif, maka (${\displaystyle c}$ dikurangi sisi genap) dan satu setengah dari (${\displaystyle c}$ dikurangi sisi ganjil) sama-sama bilangan kuadrat sempurna. Namun ini bukanlah sebuah syarat cukup, karena bilangan ${\displaystyle \{1,8,9\}}$ memenuhi uji bilangan kuadrat sempurna tapi masih bukan tripel karena ${\displaystyle 1^{2}+8^{2}\neq 9^{2}}$.
• Paling banyak salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah bilangan kuadrat.^[11]
• Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadrat^{[12]: p. 17} atau dua kali kuadrat^{[12]: p. 21} bilangan asli.
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ habis dibagi oleh 2 (adalah genap); dan hipotenusa ${\displaystyle c}$ selalu ganjil.^{[8]: 23–25}
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ habis dibagi oleh 3, tapi ${\displaystyle c}$ tidak.^{[8]: 23–25}
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ habis dibagi oleh 4, tapi ${\displaystyle c}$ tidak (karena ${\displaystyle c}$ tidak pernah genap).^[8]
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ habis dibagi oleh 5.^[8]
• Bilangan terbesar yang selalu membagi ${\displaystyle abc}$ adalah 60.^[13]
• Sebarang bilangan ganjil dari bentuk ${\displaystyle 2m+1}$, dengan ${\displaystyle m}$ bilangan bulat dan ${\displaystyle m>1}$, dapat menjadi sisi ganjil tripel Pythagoras primitif. Lihat tripel Pythagoras primitif hampir sama kaki di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap yang habis dibagi oleh 4 dapat menjadi sisi genap tiripel Pythagoras primitif. Ini dikarenakan rumus Euklides untuk sisi genap yang diberikan di atas adalah ${\displaystyle 2mn}$ dan salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ harus genap.
• Hipotenusa ${\displaystyle c}$ adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi bilangan prima dari bentuk ${\displaystyle 4n+1}$.^[14] Oleh karena itu ${\displaystyle c}$ adalah bentuk ${\displaystyle 4n+1}$. Suatu barisan bilangan hipotenusa yang mungkin untuk tripel Pythagoras primitif dapat ditemukan di (barisan A008846 pada OEIS)
• Luasnya (${\displaystyle K={\tfrac {ab}{2}}}$) adalah bilangan kongruen^[15] yang habis dibagi 6.
• Dalam setiap tripel Pythagoras, jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk suatu tripel primitif, jari-jari lingkaran dalam adalah ${\displaystyle r=n(m-n)}$, dan jari-jari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$, ${\displaystyle 2mn}$, dan hipotenusa ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$ masing-masing ${\displaystyle m(m-n)}$, ${\displaystyle n(m+n)}$, dan ${\displaystyle m(m+n)}$.^[16]
• Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan teorema Thales mengatakan bahwa diameter lingkaran luar sama dengan hipotenusa. Karena itu untuk suatu tripel primitif, diameter lingkaran luarnya adalah ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$, dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya serta demikan merupakan bilangan rasional tapi bukan bilangan bulat (karena ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ memiliki paritas yang berlawanan).
• Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh kelengkungan lingkaran dalamnya dan tiga lingkaran singgung luar masing-masing hasilnya empat bilangan bulat positif ${\displaystyle w>x>y>z}$. Bilangan bulat ${\displaystyle -w,x,y,z}$ memenuhi Persamaan Lingkaran Descartes.^[17] Secara ekuivalen, jari-jari lingkaran Soddy luar dari suatu segitga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat lingkaran Soddy luar terletak di ${\displaystyle D}$, dengan ${\displaystyle ACBD}$ adalah persegi panjang, ${\displaystyle ACB}$ adalah segitiga siku-siku dan ${\displaystyle AB}$ adalah hipotenusanya.^{[17]: hlm. 6}
• Hanya dua sisi tripel Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi bilangan prima karena dengan rumus Eukildes yang menghasilkan tripel Pythagoras, salah satu dari sisinya harus bilangan komposit dan bilangan genap.^[18] Namun, hanya satu sisi dapat menjadi bilangan bulat pangkat sempurna ${\displaystyle p\geq 2}$ karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen ${\displaystyle p}$ yang sama. Hal tersebut bertentangan karena tidak ada solusi bilangan bulat untuk persamaan Diophantus ${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$, dengan ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ adalah bilangan koprima sepasangan.^[19]
• Tidak ada segitiga Pythagoras yang hipotenusa dan suatu sisi adalah sisi segitiga Pythagorasyang lain: ini adalah salah satu dari bentuk ekuivalen teorema segitiga siku-siku Fermat.^{[12]: p. 14}
• Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki rasio luas ${\displaystyle K}$ dengan semiperimeter yang dikuadratkan ${\displaystyle s}$, yang unik dengan sendirinya dan dinyatakan^[20]$${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$$

• Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu setiap segtiga Pythagoras primitif tidak dapat uraikan lagi.^[21]
• Himpunan semua tripel Pythagoras primitif membentuk pohon terner berakar dengan cara pada umumnya; lihat Pohon tripel Pythagoras primitif.
• Sudut lancip segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi sebuah bilangan rasional atau derajat.^[22] (Ini mengikuti teorema Niven)

Selain itu, adapun tripel Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu sebagai berikut:

• Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan 2 mond 4 (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ${\displaystyle 4k+2}$) termasuk tripel Pythagoras. (Jika bilangan bulat memiliki bentuk ${\displaystyle 4k}$, seseorang dapat mengambil ${\displaystyle n=1}$ dan ${\displaystyle m=2k}$ dalam rumus Eukildes, dan jika blangan bulatnya adalah ${\displaystyle 2k+1}$, seseorang dapat mengambil ${\displaystyle n=k}$ dan ${\displaystyle m=k+1}$.)
• Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 termasuk tripel Pythagoras primtif atau non-primitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 tidak termasuk tripel primitif, melainkan termasuk tripel non-prmitif ${\displaystyle (6,8,10)}$, ${\displaystyle (14,48,50)}$ dan ${\displaystyle (18,80,82)}$.
• Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya, yang hipotenusa dan sisi terpanjangnya memiliki selisih tepat satu. Tripel tresebut seharusnya primitif dan memiliki bentuk ${\displaystyle (2n+1,2n^{2}+2n,2n^{2}+2n+1)}$. Hasil tersebut berasal dari rumus Euklides yang mengatakan, syarat tersebut menyiratkan bahwa tripel tersebut adalah primitif dan harus membenarkan ${\displaystyle (m^{2}+n^{2})-2mn=1}$. Ini menyiratkan ${\displaystyle (m-n)^{2}=1}$, dan demikian ${\displaystyle m=n+1}$. Jadi, bentuk di atas dari hasil tripel itu mensubstitusikan ${\displaystyle m}$ untuk ${\displaystyle n+1}$ dalam rumus Eukildes.
• Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya yang hipotenusa dan sisi terpanjangnya memilih selisih tepat dua. Tripelnya sama-sama primitif, yang didapati dengan memasukkan ${\displaystyle n=1}$ dalam rumus Euklides. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle k>0}$, terdapat tripel Pythagoras primitif yang tak terhingga banyaknya yang hipotenusa dan sisi ganjil memiliki selisih ${\displaystyle 2k^{2}}$, yang diperoleh dengan memasukkan ${\displaystyle n=k}$ dalam rumus Eukildes.
• Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya yang kedua sisinya memiliki selisih tepat satu. Contohnya, ${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$. Adapun tripel tersebut dihasilkan oleh rumus Euklides ketika ${\textstyle {\frac {m-n}{n}}}$ konvergen dengan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle k}$, terdapat tripel Pythagoras ${\displaystyle k}$ dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle k}$, terdapat tripel Pythagoras primitif ${\displaystyle k}$ yang berbeda dengan sisi ${\displaystyle a}$ yang sama, dengan ${\displaystyle a}$ bilangan asli (panjang dari kaki genap adalah ${\displaystyle 2mn}$, dan cukup untuk memilih ${\displaystyle a}$ dengan banyak faktorisasi, contohnya ${\displaystyle a=4b}$, dimana ${\displaystyle b}$ adalah sebuah darab bilangan bilangan prima ganjil ${\displaystyle k}$ yang berbeda; setidaknya menghasilkan ${\displaystyle 2^{k}}$ tripel primitif yang berbeda).^[8]: 30
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$, terdapat setidaknya tripel Pythagoras ${\displaystyle n}$ yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.^[8]: 31
• Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa ${\displaystyle c}$ dan jumlah dari sisi ${\displaystyle a+b}$. Menurut Fermat, tripel paling terkecil tersebut^[23] memiliki sisi ${\displaystyle a=4\,565\,486\,027\,761}$, ${\displaystyle b=1\,061\,652\,293\,520}$, ${\displaystyle c=4\,687\,298\,610\,289}$. Disini ${\displaystyle a+b=2\,372\,159^{2}}$ dan ${\displaystyle c=2\,165\,017^{2}}$. Ini dihasilkan oleh rumus Eukildes dengan nilai parameter ${\displaystyle m=2\,150\,905}$ dan ${\displaystyle n=246\,792}$.
• Terdapat segitiga Pythagoras non-primitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa.^[24][25] Segitiga Pythagoras tersebut dikatakan teruraikan karena dapat dipisahkan sepanjang ketinggian itu menjadi dua segitiga Pythagoras yang terpisah dan lebih kecil.^[21]

Rumus Euklides untuk tripel Pythagoras

${\displaystyle a=2mn,\quad b=m^{2}-n^{2},\quad c=m^{2}+n^{2}}$

dapat dipahami dalam pandangan geometri berupa titik rasional pada satuan lingkaran (Trautman 1998).

Bahkan, suatu titik di bidang Cartesius dengan koordinat ${\displaystyle (x,y)}$ merupakan milik lingkaran satuan jika ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Suatu titik adalah rasional jika ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ adalah bilangan rasional, dalam artian jika terdapat bilangan bulat koprima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ sehingga

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1}$.

Dengan mengalikan kedua anggota ${\displaystyle c^{2}}$, seseorang dapat memandang bahwa titik rasional pada lingkaran korespondensi satu-ke-satu dengan tripel Pythagoras.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh persamaan parametrik$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$$

Rumus Eukides untuk tripel Pythagoras dan hubungan inversnya ${\textstyle t={\frac {y}{x+1}}}$ mengartikan bahwa suatu titik pada lingkaran (kecuali ${\displaystyle (-1,0)}$ adalah rasional jika dan hanya jika nilai korespondensi dari ${\displaystyle t}$ adalah bilangan rasional.

Adapun terdapat korespondensi di antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan tripel Pythagoras primitif. Pada kali ini, rumus Euklides dapat diturunkan dengan menggunakan metode trigonometri ataupun secara ekuivalen menggunakan proyeksi stereografik.

Untuk pendekatan stereografik, misalkan ${\displaystyle P'}$ adalah titik pada sumbu-${\displaystyle x}$ dengan koordinat rasional$${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$$

Maka, dapat ditunjukkan dengan aljabar dasar bahwa titik ${\displaystyle P}$ memiliki koordinat$${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$$

Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu-${\displaystyle x}$ berjalan melewati ke suatu titik rasional lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional lingkaran satuan datang dari titik rasional tersebut dari sumbu-${\displaystyle x}$, lantaran menerapkan proyeksi stereografik inversnya. Misalkan ${\displaystyle P(x,y)}$ suatu titik dari lingkaran satuan dengan ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ bilangan rasional. Maka titik ${\displaystyle P'}$ diperoleh dari proyeksi stereografik pada sumbu-${\displaystyle x}$ memiliki koordinat

${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$

yang merupakan rasional.

Dalam hal geometri aljabar, varietas aljabar dari titik rasional pada lingkaran satuan adalah dwirasional ke garis afin atas bilangan rasional. Karena itu, lingkaran satuan disebut lengkung rasional, dan karena hal tersebut yang memungkinkan parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) padanya melalui fungsi rasional.

Kekisi berdimensi dua adalah larik titik terpencil yang beraturan, yang jika suatu titik dipilih sebagai titik origin di bidang koordinat Cartesius ${\displaystyle (0,0)}$, maka semua titik lainnya ada di ${\displaystyle (x,y)}$ dengan ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ berkisars di semua bilangan bulat positif dan negatif. Segitiga Pythagoras dengan tripel ${\displaystyle (a,b,c)}$ dapat digambar di dalam kekisi berdimensi dua dengan titik di koordinat ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (a,0)}$, dan ${\displaystyle (0,b)}$. Jumlah titik kekisi yang terletak sempurna di dalam batas dari segitiga dirumuskan ${\textstyle {\frac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}}}$.^[26] Untuk tripel Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah ${\textstyle {\frac {(a-1)(b-1)}{2}}}$. Menurut teorema Pick (yang sama dengan satu kurang dari jumlah titik kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah titik kekisi batas), luasnya sama dengan ${\textstyle {\frac {ab}{2}}}$.

Kemunculan dua tripel Pythagoras primitif pertama membagi luas yang sama muncul dengan segitiga dengan sisi ${\displaystyle (20,21,29)}$, ${\displaystyle (12,35,37)}$ dan luas umumnya adalah 210 (barisan A093536 pada OEIS). Kemunculan dua tripel Pythgoras primitif pertama membagi jumlah titik kekisi dalam yang sama muncul dengan ${\displaystyle (18108,252685,253333)}$, ${\displaystyle (28077,162964,165365)}$ dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 (barisan A225760 pada OEIS). Tiga tripel Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: ${\displaystyle (4485,5852,7373)}$, ${\displaystyle (3059,8580,9109)}$, ${\displaystyle (1380,19019,19069)}$ dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan dari tiga tripel Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah kekisi dalam.

Berdasarkan rumus Eukildes, semua tripel Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dengan ${\displaystyle m>n>0}$, ${\displaystyle m+n}$ adalah ganjil dan ${\displaystyle \operatorname {FPB} (m,n)=1}$. Karena itu terdapat pemetaan satu-ke-satu bilangan rasional (dalam bentuk paling sederhana) ke tripel Pythagoras primitif, dengan${\textstyle {\frac {n}{m}}}$ ada di dalam selang ${\displaystyle (0,1)}$ dan ${\displaystyle m+n}$ ganjil.

Pemetaan terbalik dari tripel primitif ${\displaystyle (a,b,c)}$, dengan ${\displaystyle c>b>a>0}$, ke suatu bilangan rasional ${\textstyle {\frac {n}{m}}}$ didapatkan dengan mengetahui dua penjumlahan ${\displaystyle a+c}$ dan ${\displaystyle b+c}$. Salah satu dari penjumlahan ini akan menjadi suatu bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan ${\displaystyle (m+n)^{2}}$ dan lainnya akan menjadi dua kali suatu bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan ${\displaystyle 2m^{2}}$. Hal tersebut mungkin untuk menentukan bilangan rasional ${\textstyle {\frac {n}{m}}}$.

Untuk menghitung tripel Pythagoras primitif, bilangan rasionalnya dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut ${\displaystyle (n,m)}$ dan dipetakan ke bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Contoh dapat diperlihatkan pada (barisan A277557 pada OEIS). Dimulai dari ${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$ yang kemudian memberikan bilangan rasional ${\textstyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{6}},\dots }$, dan pada akhirnya menghasilkan tripel primitif ${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$.

Tripel Pythagoras juga dapat dikodekan menjadi matriks persegi yang berbentuk$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}$$Matriks berbentuk seperti itu adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan ${\displaystyle X}$ adalah$${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}}$$yang hasilna tepat nol ketika ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah tripel Pythagoras. Jika ${\displaystyle X}$ korespondensi dengan tripel Pythagoras, maka matriks tersebut harus memiliki peringkat 1. Karena ${\displaystyle X}$ simetrik, hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom ${\textstyle \xi ={\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ sehingga hasil kali luar

${\displaystyle X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}[m\ n]=2\xi \xi ^{T}\,}$

(1)

berlaku, dengan ${\displaystyle T}$ melambangkan transpos matriks. Vektor ${\displaystyle \xi }$ disebut spinor (untuk grup Lorentz ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,2)}$). Dalam penjelasan yang abstrak, rumus Euklides mengartikan setiap tripel Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai hasil luar suatu spinor dengan sendirinya, yang memiliki entri bilangan bulat seperti pada (1).

Grup modular ${\displaystyle \Gamma }$ adalah himpunan matriks 2×2 yang memiliki entri bilangan bulat

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

yang determinannya sama dengan satu: ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$. Himpunan ini membentuk grup, karena invers matriks di ${\displaystyle \Gamma }$ lagi-lagi sama dengan ${\displaystyle \Gamma }$, yang merupakan hasil kali dua matriks di ${\displaystyle \Gamma }$. Grup modular bertindak pada koleksi semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grup adalah transitif pada kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Karena jika ${\textstyle {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ memiliki entri yang relatif prima, maka

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$

dengan ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ dipilih (menurut algoritma Euklides) sehingga ${\displaystyle mu+nv=1}$.

Dengan bertindak pada spinor ${\displaystyle \xi }$ di (1), tindakan ${\displaystyle \Gamma }$ mengubah tindakan pada tripel Pythagoras, asalkan seseorang memungkinkan tripel yang kemungkinannya memiliki komponen negatif. Dengan demikian, jika ${\displaystyle A}$ adalah matriks di ${\displaystyle \Gamma }$, maka

${\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T}\,}$

(2)

menyebabkan tindakan pada matriks ${\displaystyle X}$ di (1). Ini tidak memberikan suatu tindakan didefinisikan dengan baik pada tripel primitif, karena dapat mengambil tripel primitif ke yang non-primitif. Sekarang, pernyataan tersebut pantas (menurut Trautman 1998) untuk menyebut suatu tripel ${\displaystyle (a,b,c)}$ standar jika ${\displaystyle c>0}$ dan baik ${\displaystyle (a,b,c)}$ relatif prima maupun ${\textstyle \left({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},{\frac {c}{2}}\right)}$ relatif prima dengan ${\textstyle {\frac {a}{2}}}$ ganjil. Jika spinornya ${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ memiliki entri yang relatif prima, maka tripel yang diiiringi ${\displaystyle (a,b,c)}$ ditentukan oleh (1) adalah tripel standar. Ini mengikuti bahwa tindakan grup modular adalah transitif pada himpunan tripel standar.

Secara bergantian, perhatian yang melarang untuk nilai-nilai ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ supaya ${\displaystyle m}$ ganjil dan ${\displaystyle n}$ genap. Misalkan subgrup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ dari ${\displaystyle \Gamma }$ adalah kernel dari kehomomorfan grup$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$$dengan ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$ adalah grup linear khusus atas medan hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ dari bilangan bulat modulo 2. Maka ${\displaystyle \Gamma (2)}$ adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian, jika entri pertama ${\displaystyle \xi }$ ganjil dan entri kedua genap, maka berlaku juga untuk ${\displaystyle A\xi }$ untuk semua ${\displaystyle A\in \Gamma (2)}$. Bahkan, di bawah tindakan (2), grup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ bertindak secara transitif pada koleksi tripel Pythagoras primitif (Alperin 2005).

Grup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}$$ .

Akibatnya, setiap tripel Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam cara yang unik sebagai hasil kali salinan matriks ${\displaystyle U}$ dan ${\displaystyle L}$.

Melalui (Berggren 1934), semua tripel Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga ${\displaystyle (3,4,5)}$ dengan menggunakan tiga transformasi linear ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$ berikut, dengan ${\displaystyle a,b,c}$ adalah sisi tripel:

	sisi baru ${\displaystyle a}$	sisi baru ${\displaystyle b}$	sisi baru ${\displaystyle c}$
${\displaystyle T_{1}}$	${\displaystyle a-2b+2c}$	${\displaystyle 2a-b+2c}$	${\displaystyle 2a-2b+3c}$
${\displaystyle T_{2}}$	${\displaystyle a+2b+2c}$	${\displaystyle 2a+b+2c}$	${\displaystyle 2a+2b+3c}$
${\displaystyle T_{3}}$	${\displaystyle -a+2b+2c}$	${\displaystyle -2a+b+2c}$	${\displaystyle -2a+2b+3c}$

Dengan kata lain, setiap tripel primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tripel primitif lainnya. Mulai dari simpul awal dengan ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=4}$, ${\displaystyle c=5}$, operasi ${\displaystyle T_{1}}$ menghasilkan tripel bar$${\displaystyle (3-(2\times 4)+(2\times 5),(2\times 3)-4+(2\times 5),(2\times 3)-(2\times 4)+(3\times 5))=(5,12,13)}$$dan dengan cara yang serupa ${\displaystyle T_{2}}$ dan ${\displaystyle T_{3}}$ menghasilkan tripel ${\displaystyle (21,20,19)}$ dan ${\displaystyle (15,8,17)}$.

Transformasi linear ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, dan ${\displaystyle T_{3}}$ memiliki sebuah pandangan geometris dalam pengertian bentuk kuadrat. Mereka sangat berkaitan dengan (tetapi tidak sama dengan) cerminan yang menghasilkan grup ortogonal ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ atas bilangan bulat.^[27]

Secara bergantian, rumus Eukildes dapat dianalisa dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss.^[28] Bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks dari bentuk ${\displaystyle \alpha =u+vi}$, dengan ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ adalah bilangan bulat biasa dan ${\displaystyle i}$ adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah ${\displaystyle \pm 1}$ dan ${\displaystyle \pm i}$. Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Ruas kanan teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$$

Tripel Pythagoras primitif adalah suatu tripel dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah koprima, dalam pengertian mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk tripel tersebut, baik ${\displaystyle a}$ maupun ${\displaystyle b}$ genap, dan sisanya ganjil. Ini mengikuti bahwa ${\displaystyle c}$ juga ganjil.

Dua faktor tripel Pythagoras ${\displaystyle z:=a+bi}$ dan ${\displaystyle z^{\star }:=a-bi}$ masing-masing sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan secara unik menjadi bilangan prima Gauss dengan memperhatikan satuan.^[29] (Secara kasar, faktorisasi tunggal ini diakibatkan versi algoritma Eukildes yang dapat didefinisikan padanya.) Bukti tersebut memiliki tiga langkah. Pertama, jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ sama-sama tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi ${\displaystyle a=gu}$ dan ${\displaystyle b=gv}$ dengan bilangan bulat Gauss ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle u}$, dan ${\displaystyle v}$ serta ${\displaystyle g}$ bukanlah satuan. Maka ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ terletak pada garis yang sama melalui titik asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada garis tersebut merupakan kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss ${\displaystyle h}$. Namun kemudian bilangan bulat ${\displaystyle gh\neq \pm 1}$ membagi ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$.) Kedua, ini mengikuti bahwa ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Karena jika melakukannya, maka faktor persekutuan ${\displaystyle \delta }$ juga akan membagi ${\displaystyle z+z^{\star }=2a}$ dan ${\displaystyle z-z^{\star }=2ib}$. Karena ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah koprima, ini menyiratkan bahwa ${\displaystyle \delta }$ membagi ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)=i(1-i^{2})}$. Dari rumus ${\displaystyle c^{2}=zz^{\star }}$, yang kenyataannya menyiratkan bahwa ${\displaystyle c}$ genap. Ketiga, karena ${\displaystyle c^{2}}$ adalah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya berganda, dalam artian muncul jumlah perkalian yang genap. Karena ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu, ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ adalah bilangan kuadrat.