More Info
KPOP Image Download
  • Top University
  • Top Anime
  • Home Design
  • Top Legend



  1. ENSIKLOPEDIA
  2. Matriks simetrik - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matriks simetrik - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Matriks simetrik

  • العربية
  • Беларуская
  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Чӑвашла
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • Euskara
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • Magyar
  • Interlingua
  • Italiano
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Norsk nynorsk
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Slovenščina
  • Svenska
  • தமிழ்
  • ไทย
  • Türkçe
  • Українська
  • اردو
  • Tiếng Việt
  • 中文
Sunting pranala
  • Halaman
  • Pembicaraan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Perkakas
Tindakan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Umum
  • Pranala balik
  • Perubahan terkait
  • Pranala permanen
  • Informasi halaman
  • Kutip halaman ini
  • Lihat URL pendek
  • Unduh kode QR
Cetak/ekspor
  • Buat buku
  • Unduh versi PDF
  • Versi cetak
Dalam proyek lain
  • Butir di Wikidata
Tampilan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.
Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks A {\displaystyle A} {\displaystyle A}didefinisikan matriks simetrik jika A = A T {\displaystyle A=A^{\text{T}}} {\displaystyle A=A^{\text{T}}}. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal a i j {\displaystyle a_{ij}} {\displaystyle a_{ij}} menyatakan elemen matriks A {\displaystyle A} {\displaystyle A} pada baris ke- i {\displaystyle i} {\displaystyle i} dan kolom ke- j {\displaystyle j} {\displaystyle j}. Matriks A {\displaystyle A} {\displaystyle A} simetrik jika dan hanya jika untuk setiap i , j {\displaystyle i,\,j} {\displaystyle i,\,j} berlaku a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}} {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}.

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

[sunting | sunting sumber]

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle 3\times 3} :

A = [ 1 7 3 7 4 5 3 5 6 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}} {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}}

Sifat

[sunting | sunting sumber]

Sifat dasar

[sunting | sunting sumber]
  • Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik
  • Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks A {\displaystyle A} {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} {\displaystyle B}, matriks A B {\displaystyle AB} {\displaystyle AB} bersifat simetrik jika dan hanya jika A {\displaystyle A} {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} {\displaystyle B} saling komutatif, yakni, jika A B = B A {\displaystyle AB=BA} {\displaystyle AB=BA}.
  • Untuk bilangan bulat n {\displaystyle n} {\displaystyle n}, A n {\displaystyle A^{n}} {\displaystyle A^{n}} matriks simetrik jika A {\displaystyle A} {\displaystyle A} matriks simetrik.
  • Jika A − 1 {\displaystyle A^{-1}} {\displaystyle A^{-1}} ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika A {\displaystyle A} {\displaystyle A} simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

[sunting | sunting sumber]

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal Mat n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}} {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}} menyatakan ruang matriks ukuran n × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n}. Jika Sym n {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}} {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}} adalah ruang matriks simetrik ukuran n × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n} dan Skew n {\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}} {\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}} adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran n × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n}, maka Mat n = Sym n + Skew n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}} {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}} dan Sym n ∩ Skew n = { 0 } {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}} {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}; yakni,

Mat n = Sym n ⊕ Skew n , {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},} {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}

dengan ⊕ {\displaystyle \oplus } {\displaystyle \oplus } adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal X ∈ Mat n {\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}} {\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}. Matriks X {\displaystyle X} {\displaystyle X} dapat dinyatakan sebagai

X = 1 2 ( X + X T ) + 1 2 ( X − X T ) {\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)} {\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)}.

Perhatikan bahwa 1 2 ( X + X T ) ∈ Sym n {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}} {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}} dan 1 2 ( X − X T ) ∈ Skew n {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}} {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}. Hal ini benar untuk semua matriks persegi X {\displaystyle X} {\displaystyle X} dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)} {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)} skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari 1 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)} {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)} skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

[sunting | sunting sumber]

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika X {\displaystyle X} {\displaystyle X} adalah matriks simetrik, begitu pula matriks A X A T {\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }} {\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }} untuk sebarang matriks A {\displaystyle A} {\displaystyle A}.

Daftar pustaka

[sunting | sunting sumber]
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (Edisi 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
  • How to implement a Symmetric Matrix in C++
  • l
  • b
  • s
Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks
  • (0,1)
  • Alternatif
  • Anti-diagonal
  • Anti-Hermitian
  • Anti-simetris
  • Panah condong
  • Bidiagonal
  • Biner
  • Bisimetris
  • Diagonal balok
  • Blok
  • Blok segitiga
  • Sentrosimetri
  • Konferensi
  • Hadamard kompleks
  • Kopositif
  • Dominan diagonal
  • Ekuivalen
  • Permutasi generalisasi
  • Bilangan bulat
  • Logis
  • Monomial
  • Nonnegatif
  • Dipartisi
  • Persimetris
  • Polinomial
  • Positif
  • Kuarter
  • Tanda
  • Signatur
  • Hermitian-miring
  • Simetris-miring
  • Garis langit
  • Z
  • Boole
  • Cauchy
  • Diagonal
  • Elementer
  • Frobenius
  • Hadamard
  • Hankel
  • Hermite
  • Hessenberg
  • Metzler
  • Moore
  • Parisi
  • Pita
  • Permutasi
  • Rongga
  • Segitiga
  • Simetrik
  • Sylvester
  • Transformasi Fourier diskret
  • Tridiagonal
  • Toeplitz
  • Uniter
  • Vandermonde
  • Walsh
Konstan
  • Bergeser
  • Pertukaran
  • Hilbert
  • Identitas
  • Lehmer
  • Nol
  • Pascal
  • Pauli
  • Redheffer
  • Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya
  • Kompasi
  • Konvergen
  • Defektif
  • Diagonalisasi
  • Generalisasi-positif
  • Stabilitas
  • Hurwitz
  • Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya
  • Congruent
  • Involutori
  • Generalisasi unimodular
  • Penimbangan
  • Idempoten atau Proyeksi
  • Nilpoten
  • Normal
  • Ortogonal
  • Singular
  • Terbalikkan (nonsingular)
  • Unimodular
  • Unipoten
Dengan aplikasi tertentu
  • Adjugat
  • Tanda alternatif
  • Augmenten
  • Lingkaran
  • Komutasi
  • Kofunsi
  • Derogasi
  • Duplikasi
  • Eliminasi
  • Jarak Euklides
  • Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
  • Generator
  • Geser
  • Persamaan
  • Acak
  • Bézout
  • Carleman
  • Cartan
  • Coxeter
  • Gram
  • Hesse
  • Householder
  • Imbalan
  • Jacobi
  • Jarak
  • Kofaktor
  • Seifert
  • Simplektik
  • Transformasi
  • Pick
  • Positif total
  • Rotasi
  • Wedderburn
  • X–Y–Z
Digunakan dalam statistika
  • Centering
  • Design
  • Dispersion
  • Doubly stochastic
  • Fisher information
  • Hat
  • Precision
  • Bernoulli
  • Korelasi
  • Kovariansi
  • Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf
  • Adjacency
  • Biadjacency
  • Degree
  • Incidence
  • Seidel adjacency
  • Skew-adjacency
  • Edmonds
  • Laplace
  • Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik
  • Fundamental (computer vision)
  • Fuzzy associative
  • Irregular
  • Overlap
  • State transition
  • Substitution
  • Z (chemistry)
  • Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
  • Densitas
  • Gamma
  • Gell-Mann
  • Hamilton
  • S
Istilah yang berhubungan
  • Jordan canonical form
  • Matrix exponential
  • Matrix representation of conic sections
  • Perfect matrix
  • Quaternionic matrix
  • Bebas linear
  • Bentuk eselon baris
  • Invers semu
  • Wronskian
  • Daftar jenis matriks
  • Kategori:Matriks
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks_simetrik&oldid=18305248"
Kategori:
  • Matriks
Kategori tersembunyi:
  • Pages using the JsonConfig extension

Best Rank
More Recommended Articles