Unit imajiner

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit (${\displaystyle i}$) adalah solusi untuk persamaan kuadrat ${\displaystyle x}$² ${\displaystyle +1=0}$. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, ${\displaystyle i}$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah ${\displaystyle 2+3i}$.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ke sistem bilangan kompleks ${\displaystyle \mathbb {C} }$, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial ${\displaystyle P(x)}$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu ${\displaystyle i}$ dan ${\displaystyle -i}$, sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks ${\displaystyle j}$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan ${\displaystyle i}$, sebab ${\displaystyle i}$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle j}$ alih-alih ${\displaystyle i}$, karena ${\displaystyle i}$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.^[1]

Nilai siklus perpangkatan dari i :
${\displaystyle ...}$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
${\displaystyle i^{-3}=i}$
${\displaystyle i^{-2}=-1}$
${\displaystyle i^{-1}=-i}$
${\displaystyle i^{0}=1}$
${\displaystyle i^{1}=i}$
${\displaystyle i^{2}=-1}$
${\displaystyle i^{3}=-i}$
${\displaystyle i^{4}=1}$
${\displaystyle i^{5}=i}$
${\displaystyle i^{6}=-1}$
${\displaystyle ...}$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner ${\displaystyle i}$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah ${\displaystyle -1}$: $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$ Oleh karena itu, ${\displaystyle i}$ dan ${\displaystyle -i}$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari ${\displaystyle -1}$.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan ${\displaystyle i}$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan ${\displaystyle i^{2}}$ dengan −1). Perpangkatan dari ${\displaystyle i}$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan ${\displaystyle -i}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle i}$, atau ${\displaystyle -1}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}}$$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol: $${\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.}$$

Sebagai bilangan kompleks, ${\displaystyle i}$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai ${\displaystyle 0+1i}$, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, ${\displaystyle i}$ dapat dinyatakan sebagai ${\displaystyle 1\times e^{i\pi /2}}$ (atau cukup tulis ${\displaystyle e^{i\pi /2}}$), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari ${\displaystyle \pi /2}$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari ${\displaystyle 2\pi }$). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, ${\displaystyle i}$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Dua buah akar kuadrat dari ${\displaystyle i}$ dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari ${\displaystyle i}$ dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, ${\displaystyle i}$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu ^[a]

$${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$$

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}}$$

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan $${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$$

Tiga buah akar kubik dari ${\displaystyle i}$ adalah:^[3] $${\displaystyle \left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).}$$

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari ${\displaystyle i}$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.