More Info
KPOP Image Download
  • Top University
  • Top Anime
  • Home Design
  • Top Legend



  1. ENSIKLOPEDIA
  2. Fungsi phi Euler - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Fungsi phi Euler - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Fungsi phi Euler

  • العربية
  • Български
  • বাংলা
  • Català
  • Čeština
  • Cymraeg
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Euskara
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • Hrvatski
  • Kreyòl ayisyen
  • Magyar
  • Italiano
  • 日本語
  • Қазақша
  • 한국어
  • മലയാളം
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Simple English
  • Slovenščina
  • Српски / srpski
  • Svenska
  • தமிழ்
  • Türkçe
  • Українська
  • Tiếng Việt
  • 中文
Sunting pranala
  • Halaman
  • Pembicaraan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Perkakas
Tindakan
  • Baca
  • Sunting
  • Sunting sumber
  • Lihat riwayat
Umum
  • Pranala balik
  • Perubahan terkait
  • Pranala permanen
  • Informasi halaman
  • Kutip halaman ini
  • Lihat URL pendek
  • Unduh kode QR
Cetak/ekspor
  • Buat buku
  • Unduh versi PDF
  • Versi cetak
Dalam proyek lain
  • Wikimedia Commons
  • Wikifungsi
  • Butir di Wikidata
Tampilan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
"Φ(n)" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat phi.
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Fungsi phi Euler di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)
Seribu nilai pertama φ(n). Titik di garis atas adalah φ(p) bila p adalah bilangan prima, yaitu p − 1.[1]

Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler (bahasa Inggris: Euler's totient function) adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat n {\displaystyle n} {\displaystyle n} yang prima nisbi dengan n {\displaystyle n} {\displaystyle n}. Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} {\displaystyle \varphi (m)} atau ϕ ( m ) {\displaystyle \phi (m)} {\displaystyle \phi (m)} menyatakan kardinal himpunan bilangan asli 1 ≤ n ≤ m {\displaystyle 1\leq n\leq m} {\displaystyle 1\leq n\leq m} dimana gcd ( m , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(m,n)=1} {\displaystyle \gcd(m,n)=1}.

Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Di antara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.

Fungsi ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).

Identitas

[sunting | sunting sumber]
Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Fungsi phi Euler" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, di antaranya:

  • φ ( 1 ) = 0 {\displaystyle \varphi (1)=0} {\displaystyle \varphi (1)=0}, φ ( 2 ) = 1 {\displaystyle \varphi (2)=1} {\displaystyle \varphi (2)=1}
  • φ ( p ) = p − 1 {\displaystyle \varphi (p)=p-1} {\displaystyle \varphi (p)=p-1}, untuk p {\displaystyle p} {\displaystyle p} adalah bilangan prima
  • φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)} {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)} jika gcd ( m , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(m,n)=1} {\displaystyle \gcd(m,n)=1}
  • φ ( p n ) = p n − 1 ( p − 1 ) {\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}(p-1)} {\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}(p-1)}
  • φ ( ∏ i = 1 n p i ) = ∏ i = 1 n ( p i − 1 ) {\displaystyle \varphi \left(\prod _{i=1}^{n}p_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(p_{i}-1\right)} {\displaystyle \varphi \left(\prod _{i=1}^{n}p_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(p_{i}-1\right)}

Rumus lainnya

[sunting | sunting sumber]

Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, di antaranya

  • a ∣ b ⟹ φ ( a ) ∣ φ ( b ) {\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)} {\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)}
  • n ∣ φ ( a n − 1 ) {\displaystyle n\mid \varphi (a^{n}-1)} {\displaystyle n\mid \varphi (a^{n}-1)}, untuk setiap a , n > 1 {\displaystyle a,n>1} {\displaystyle a,n>1}
  • φ ( m , n ) = φ ( m ) ⋅ φ ( n ) {\displaystyle \varphi (m,n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)} {\displaystyle \varphi (m,n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}
Perhatikan kasus khusus
  • φ ( 2 m ) = { 2 φ ( m )  jika  m  adalah genap φ ( m )  jika  m  adalah ganjil {\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah genap}}\\\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah ganjil}}\end{cases}}} {\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah genap}}\\\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah ganjil}}\end{cases}}}
  • φ ( n m ) = n m − 1 φ ( n ) {\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)} {\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
  • φ ( lcm ⁡ ( m , n ) ) ⋅ φ ( gcd ⁡ ( m , n ) ) = φ ( m ) ⋅ φ ( n ) {\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m,n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (n)} {\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m,n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (n)} Bandingkan dengan rumus
  • lcm ⁡ ( m , n ) ⋅ gcd ⁡ ( m , n ) = m ⋅ n {\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)\cdot \operatorname {gcd} (m,n)=m\cdot n} {\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)\cdot \operatorname {gcd} (m,n)=m\cdot n}
(Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)
  • φ(n) genap untuk n ≥ 3. Selain itu, jika n memiliki r faktor prima ganjil yang berbeda, 2r | φ(n)
  • Untuk a > 1 dan n > 6 sehingga 4 ∤ n terdapat l ≥ 2n sedemikian sehingga l | φ(an − 1).
  • φ ( n ) n = φ ( rad ⁡ ( n ) ) rad ⁡ ( n ) {\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}} {\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}}
di mana rad ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {rad} (n)} {\displaystyle \operatorname {rad} (n)} adalah radikal dari n {\displaystyle n} {\displaystyle n}.
  • ∑ d ∣ n μ 2 ( d ) φ ( d ) = n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}} {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}} [2]
  • ∑ 1 ≤ k ≤ n ( k , n ) = 1 k = 1 2 n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)} {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)}, untuk n > 1 {\displaystyle n>1} {\displaystyle n>1}
  • ∑ k = 1 n φ ( k ) = 1 2 ( 1 + ∑ k = 1 n μ ( k ) ⌊ n k ⌋ 2 ) = 3 π 2 n 2 + O ( n ( log ⁡ n ) 2 3 ( log ⁡ log ⁡ n ) 4 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} ([3] dikutip dalam[4])
  • ∑ k = 1 n φ ( k ) k = ∑ k = 1 n μ ( k ) k ⌊ n k ⌋ = 6 π 2 n + O ( ( log ⁡ n ) 2 3 ( log ⁡ log ⁡ n ) 4 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} [3]
  • ∑ k = 1 n k φ ( k ) = 315 ζ ( 3 ) 2 π 4 n − log ⁡ n 2 + O ( ( log ⁡ n ) 2 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)} [5]
  • ∑ k = 1 n 1 φ ( k ) = 315 ζ ( 3 ) 2 π 4 ( log ⁡ n + γ − ∑ p  prime log ⁡ p p 2 − p + 1 ) + O ( ( log ⁡ n ) 2 3 n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)} [5]
(dengan γ {\displaystyle \gamma } {\displaystyle \gamma } adalah konstanta Euler–Mascheroni).
  • ∑ gcd ⁡ ( k , m ) = 1 1 ≤ k ≤ n 1 = n φ ( m ) m + O ( 2 ω ( m ) ) {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)} {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}
dimana m > 1 {\displaystyle m>1} {\displaystyle m>1} adalah bilangan bulat positif dan ω ( m ) {\displaystyle \omega (m)} {\displaystyle \omega (m)} adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari m {\displaystyle m} {\displaystyle m}.[6]

Beberapa bilangan

[sunting | sunting sumber]

100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:

Grafik dari 100 nilai pertama
φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} {\displaystyle \varphi (n)} untuk 1 ≤ n ≤ 100 {\displaystyle 1\leq n\leq 100} {\displaystyle 1\leq n\leq 100}
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4
10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8
20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8
30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16
40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20
50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16
60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24
70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32
80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24
90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

Dalam grafik di kanan atas baris y = n − 1 {\displaystyle y=n-1} {\displaystyle y=n-1} adalah batas atas valid untuk semua n {\displaystyle n} {\displaystyle n} selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika n {\displaystyle n} {\displaystyle n} adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah φ ( n ) ≥ n 2 {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}, yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle {\frac {n}{\log \log n}}} {\displaystyle {\frac {n}{\log \log n}}}.[7]

Fungsi pembangkit

[sunting | sunting sumber]

Deret Dirichlet untuk φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} {\displaystyle \varphi (n)} dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:[8]

∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.} {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}

Fungsi pembangkit deret Lambert adalah[9]

∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = q ( 1 − q ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}} {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}

konvergen untuk | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} {\displaystyle |q|<1}.

Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} {\displaystyle \varphi (n)}.

Rasio bilangan berurutan

[sunting | sunting sumber]

Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikan[10][11]

lim inf φ ( n + 1 ) φ ( n ) = 0 {\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=0} {\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=0} dan lim sup φ ( n + 1 ) φ ( n ) = ∞ {\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=\infty } {\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=\infty }

Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan[10][11] bahwa himpunan

{ φ ( n + 1 ) φ ( n ) , n = 1 , 2 , … } {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}} {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}

adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya[10] bahwa himpunan

{ φ ( n ) n , n = 1 , 2 , … } {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}} {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}

padat dalam interval ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} {\displaystyle (0,1)}.

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  • Fungsi Carmichael
  • Konjektur Duffin–Schaeffer
  • Generalisasi teorema kecil Fermat
  • Bilangan komposit tinggi
  • Grup perkalian bilangan bulat modulo n
  • Jumlah Ramanujan
  • Fungsi penjumlahan total

Catatan

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.
  2. ^ Dineva (dalam referensi eksternal), prop. 1
  3. ^ a b Walfisz, Arnold (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Mathematische Forschungsberichte (dalam bahasa Jerman). Vol. 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Zbl 0146.06003.
  4. ^ Lomadse, G., "The scientific work of Arnold Walfisz" (PDF), Acta Arithmetica, 10 (3): 227–237, diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2023-06-06, diakses tanggal 2020-04-22
  5. ^ a b Sitaramachandrarao, R. (1985). "On an error term of Landau II". Rocky Mountain J. Math. 15: 579–588.
  6. ^ Bordellès di pranala luar
  7. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama hw328
  8. ^ Hardy & Wright 1979, thm. 288
  9. ^ Hardy & Wright 1979, thm. 309
  10. ^ a b c Ribenboim, p.38
  11. ^ a b Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16

Referensi

[sunting | sunting sumber]

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.

Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4 . See paragraph 24.3.2.
  • Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5, Zbl 0873.11070
  • Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
  • Ford, Kevin (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1): 283–311, doi:10.2307/121103, ISSN 0003-486X, JSTOR 121103, MR 1715326, Zbl 0978.11053.
  • Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
  • Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics: a foundation for computer science (Edisi 2nd), Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5, Zbl 0836.00001
  • Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (Edisi 3rd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Edisi Fifth), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
  • Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (Edisi 2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
  • Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
  • Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (Edisi 3rd), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5, Zbl 0856.11001
  • Sandifer, Charles (2007), The early mathematics of Leonhard Euler, MAA, ISBN 0-88385-559-3
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ed. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, hlm. 9–36, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
  • Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. hlm. 179–327. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
  • Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50 (8(1)), diarsipkan dari asli tanggal 2009-05-01, diakses tanggal 2021-01-27 .

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Totient function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that φ(n) is multiplicative Diarsipkan 2021-02-28 di Wayback Machine.
  • Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits Diarsipkan 2023-07-06 di Wayback Machine.
  • Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions Diarsipkan 2021-01-16 di Wayback Machine.
  • Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function Diarsipkan 2023-05-23 di Wayback Machine.
  • l
  • b
  • s
Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial
  • Fungsi konstan (0)
  • Fungsi linear (1)
  • Fungsi kuadrat (2)
  • Fungsi kubik (3)
  • Fungsi kuartik (4)
  • Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar
  • Fungsi rasional
  • Fungsi eksponensial
    • Lambert W
    • Superakar
  • Fungsi hiperbolik
  • Fungsi logaritma
    • Berdasarkan basis
      • 2
      • e
      • 10
    • teriterasi
    • Superlogaritma
Fungsi dalam
teori bilangan
  • Fungsi Möbius
  • Fungsi partisi
  • Fungsi perhitungan bilangan prima
  • Fungsi phi Euler
  • Fungsi sigma
Fungsi trigonometri
  • Sinus
  • Kosinus
  • Tangen
  • Sekan
  • Kosekan
  • Kotangen
  • Versinus
  • Koversinus
  • Verkosinus
  • Koverkosinus
  • Ekssekan
  • Ekskosekan
  • Haversinus
  • Hakoversinus
  • Haverkosinus
  • Hakoverkosinus


  • Gudermann
  • sinc
Fungsi berdasarkan
huruf Yunani
  • Fungsi beta
    • Dirichlet
    • taklengkap
  • Fungsi chi
    • Legendre
  • Fungsi delta
    • Fungsi delta Dirac
    • Fungsi delta Kronecker
    • potensial delta
  • Fungsi eta
    • Dirichlet
  • Fungsi gamma
    • Fungsi digamma
    • Barnes
    • Meijer
    • banyak
    • eliptik
    • Hadamard
    • multivariabel
    • p-adik
    • q
    • taklengkap
    • Fungsi poligamma
    • Fungsi trigamma
  • Fungsi lambda
    • Dirchlet
    • modular
    • von Mangoldt
  • Fungsi mu
    • Möbius
  • Fungsi phi
    • Euler
  • Fungsi pi
  • Fungsi sigma
    • Weierstrass
  • Fungsi theta
  • Fungsi zeta
    • Hurwitz
    • Riemann
    • Weierstrass
Fungsi berdasarkan
nama matematikawan
  • Airy
  • Ackermann
  • Bessel
  • Bessel–Clifford
  • Bottcher
  • Chebyshev
  • Clausen
  • Dawson
  • Dirichlet
    • beta
    • eta
    • L
    • lambda
  • Faddeeva
  • Fermi–Dirac
    • lengkap
    • taklengkap
  • Fresnel
  • Fox
  • Gudermann
  • Hermite
  • Fungsi Jacob
    • eliptik Jacobi
  • Kelvin
  • Fungsi Kummer
  • Fungsi Lambert
    • W
  • Lamé
  • Laguerre
  • Legendre
    • chi
    • iring
  • Liouville
  • Mathieu
  • Meijer
  • Mittag-Leffler
  • Painlevé
  • Riemann
    • xi
    • zeta
  • Riesz
  • Scorer
  • Spence
  • von Mangoldt
  • Weierstrass
    • eliptik
    • eta
    • sigma
    • zeta
Fungsi khusus
  • Fungsi bagian bilangan bulat
    • Fungsi bilangan bulat terbesar
    • Fungsi bilangan bulat terkecil
  • Fungsi gergaji
  • Fungsi indikator
  • Fungsi nilai mutlak
  • Fungsi persegi
  • Fungsi segitiga
  • Fungsi tanda
  • Fungsi tangga
    • Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya
  • Aritmetik-geometrik
  • eliptik
  • Fungsi hiperbolik
    • konfluen
  • K
  • sinkrotron
  • tabung parabolik
  • tanda tanya Minkowski
  • Pentasi
  • Student
  • Tetrasi
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_phi_Euler&oldid=27439618"
Kategori:
  • Galat CS1: tanggal ISBN
  • Aritmetika modular
  • Fungsi perkalian
  • Artikel yang memuat pembuktian
  • Aljabar
  • Teori bilangan
  • Leonhard Euler
Kategori tersembunyi:
  • Halaman dengan kesalahan referensi
  • CS1 sumber berbahasa Jerman (de)
  • Galat CS1: parameter tidak didukung
  • Missing redirects
  • Artikel yang dimintakan pemeriksaan atas penerjemahannya
  • Artikel yang perlu diperiksa terjemahannya Juni 2025
  • Artikel yang diterjemahkan secara kasar
  • Artikel yang tidak memiliki referensi Juni 2025
  • Galat CS1: nama generik
  • Templat webarchive tautan wayback

Best Rank
More Recommended Articles